只有当二阶齐次微分方程有虚数特征根，且该特征根的实部等于零的时候才会存在有界的通解

一、题目

已知，微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $a$ 和 $b$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

$y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 对应的特征方程如下：

$$
\lambda^{2} + a \lambda + b = 0
$$

通过上面的特征方程我们能求解出来两个特征值，分别是 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$.

于是，对应的通解就可能有以下三种情况：

1. $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 均为实数，且 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$, 通解为：

$$
\textcolor{orange}{
y(x) = C_{1} e^{\lambda_{1} x} + C_{2} e^{\lambda_{2} x}
} \tag{1}
$$

2. $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 均为实数，但 $\lambda_{1} = \lambda_{2}$, 通解为：

$$
\textcolor{orange}{
y(x) = (C_{1} + C_{2} x)e^{\lambda_{1} x}
} \tag{2}
$$

3. $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 为虚数根 $\alpha \pm \beta i$, 通解为：

$$
\textcolor{orange}{
y(x) = e^{\alpha x} (C_{1} \cos \beta i + C_{2} \sin \beta i)
} \tag{3}
$$

分析可知，由于 $e^{\lambda x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上无界，因此，只有当通解为如下形式时才可能有界：

$$
\textcolor{red}{
y(x) = C_{1} \cos \beta i + C_{2} \sin \beta i
}
$$

对应的特征值为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lambda = \pm \beta i \tag{4}
}
$$

又：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lambda = \frac{-a \pm \sqrt{a^{2} – 4b}}{2} \tag{5}
}
$$

若要想 (4) 式和 (5) 式对应，则必须有：

$$
\textcolor{orange}{
\begin{cases}
& a = 0 ;\\
& b > 0
\end{cases}
}
$$

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