只有当二阶齐次微分方程有虚数特征根，且该特征根的实部等于零的时候才会存在有界的通解

一、题目

已知，微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的解在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上有界，则 $a$ 和 $b$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 对应的特征方程如下：

$${\lambda }^2+a\lambda +b=0$$

通过上面的特征方程我们能求解出来两个特征值，分别是 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$.

于是，对应的通解就可能有以下三种情况：

1. ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 均为实数，且 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, 通解为：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\end{array}$$

2. ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 均为实数，但 ${\lambda }_1={\lambda }_2$, 通解为：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}\end{array}$$

3. ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 为虚数根 $\alpha \pm \beta i$, 通解为：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta i+C_2\sin \beta i)\end{array}$$

分析可知，由于 $e^{\lambda x}$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上无界，因此，只有当通解为如下形式时才可能有界：

$$y(x)=C_1\cos \beta i+C_2\sin \beta i$$

对应的特征值为：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \lambda =\pm \beta i\end{array}$$

又：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \lambda =\frac{-a\pm \sqrt{a^2–4b}}{2}\end{array}$$

若要想 (4) 式和 (5) 式对应，则必须有：

$$\{\begin{array}{ll}& a=0;\\ & b>0\end{array}$$

---