用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ ${\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t$.

请证明：存在 $\eta \in (1,2)$, 使 $f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{{\eta }^2}$ 成立。

难度评级：

一、题目

解法一：柯西中值定理

很明显，无论对 $f(x)$ 怎么变都不可能变出来 $\ln 2$, 因此，要证明题目中的结论，我们很可能还需要借助另一个函数——于是，这就涉及到了柯西中值定理：

$$\frac{f(b)–f(a)}{g(b)–g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )},\xi \in (a,b)$$

首先，通过反推的方式确定我们要找的另一个函数 $g(x)$ 的表达式：

已知：

$$f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{{\eta }^2}f(1)=0$$

所以：

$$f(2)-f(1)=\eta \cdot \ln 2\cdot e^{{\eta }^2}$$

又：

$$f^{\prime }(x)=e^{x^2}$$

因此：

$$\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\frac{f^{\prime }(\eta )}{g^{\prime }(\eta )}\Rightarrow$$

$$f(2)-f(1)=\frac{f^{\prime }(\eta )}{g^{\prime }(\eta )}\cdot [g(2)-g(1)]\Rightarrow$$

$$\frac{g(2)-g(1)}{g^{\prime }(\eta )}=\eta \cdot \ln 2=\frac{\ln 2-\ln 1}{\frac{1}{\eta }}\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(\eta )=\frac{1}{\eta }\Rightarrow$$

$$g(x)=\ln x$$

接着，进行正向验证：

$$g(x)=\ln x\Rightarrow$$

$$\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\frac{f^{\prime }\left(\frac{n}{1}\right)}{g^{\prime }(y)}\Rightarrow$$

$$\frac{f(2)}{\ln 2}=\frac{e^{{\eta }^2}}{\frac{1}{\eta }}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{\eta }f(2)=\ln 2\cdot e^{{\eta }^2}\Rightarrow$$

得证：

$$f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{{\eta }^2}$$

解法二：罗尔中值定理

由于：

$$f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{{\eta }^2}\Rightarrow$$

$$\frac{f(2)}{\eta }=\ln 2\cdot e^{{\eta }^2}\Rightarrow \frac{f(2)}{\eta }-\ln 2\cdot e^{{\eta }^2}=0$$

因此，可以构造函数：

$$F(x)=f(2)\ln x-\ln 2\cdot f(x)$$

且（满足使用罗尔定理的条件）：

$$F(1)=0-0=0F(2)=f(2)\ln 2-\ln 2f(2)=0$$

于是：

$$\mathrm{\exists }\eta \in (1,2)\Rightarrow F^{\prime }(\eta )=0\Rightarrow$$

$$f(2)\frac{1}{\eta }-\ln 2f^{\prime }(\eta )=0\Rightarrow$$

得证：

$$\frac{f(2)}{\eta }-\ln 2\cdot e^{{\eta }^2}=0\Rightarrow f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{{\eta }^2}$$

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