用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$.

请证明：存在 $\eta \in(1,2)$, 使 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}$ 成立。

难度评级：

一、题目

解法一：柯西中值定理

很明显，无论对 $f(x)$ 怎么变都不可能变出来 $\ln 2$, 因此，要证明题目中的结论，我们很可能还需要借助另一个函数——于是，这就涉及到了柯西中值定理：

$$
\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} = \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}, \ \xi \in (a, b)
$$

首先，通过反推的方式确定我们要找的另一个函数 $g(x)$ 的表达式：

已知：

$$
f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}} \quad f(1)=0
$$

所以：

$$
f(2)-f(1)=\eta \cdot \ln 2 \cdot e^{\eta^{2}}
$$

又：

$$
f^{\prime}(x)=e^{x^{2}}
$$

因此：

$$
\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\frac{f^{\prime}(\eta)}{g^{\prime}(\eta)} \Rightarrow
$$

$$
f(2)-f(1)=\frac{f^{\prime}(\eta)}{g^{\prime}(\eta)} \cdot[g(2)-g(1)] \Rightarrow
$$

$$
\frac{g(2)-g(1)}{g^{\prime}(\eta)}=\eta \cdot \ln 2=\frac{\ln 2-\ln 1}{\frac{1}{\eta}} \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(\eta)=\frac{1}{\eta} \Rightarrow
$$

$$
g(x)=\ln x
$$

接着，进行正向验证：

$$
g(x)=\ln x \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\frac{f^{\prime}\left(\frac{n}{1}\right)}{g^{\prime}(y)} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(2)}{\ln 2}=\frac{e^{\eta^{2}}}{\frac{1}{\eta}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{\eta} f(2)=\ln 2 \cdot e^{\eta^{2}} \Rightarrow
$$

得证：

$$
f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}
$$

解法二：罗尔中值定理

由于：

$$
f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(2)}{\eta}=\ln 2 \cdot e^{\eta^{2}} \Rightarrow \frac{f(2)}{\eta}-\ln 2 \cdot e^{\eta^{2}}=0
$$

因此，可以构造函数：

$$
F(x)=f(2) \ln x-\ln 2 \cdot f(x)
$$

且（满足使用罗尔定理的条件）：

$$
F(1)=0-0=0 \quad F(2)=f(2) \ln 2-\ln 2 f(2)=0
$$

于是：

$$
\exists \ \eta \in(1,2) \Rightarrow F^{\prime}(\eta)=0 \Rightarrow
$$

$$
f(2) \frac{1}{\eta}-\ln 2 f^{\prime}(\eta)=0 \Rightarrow
$$

得证：

$$
\frac{f(2)}{\eta}-\ln 2 \cdot e^{\eta^{2}}=0 \Rightarrow f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}
$$

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