这种涉及到超大次幂的题目一定是有规律的

一、题目

已知 $P A = B P$ , 其中 $P = [\begin{array}{lll} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5 \end{array}], B = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]$ , 则 $A^{100} = ?$

难度评级：

二、解析

由于：

$| P | = 12 - 10 = 2 \neq 0 \Rightarrow 可逆 \Rightarrow$

因此：

$P A = B P \Rightarrow A = P^{- 1} B P$

由于：

$A^{3} = P^{- 1} B (P \cdot P^{- 1}) B (P \cdot P^{- 1}) B P = P^{- 1} B^{3} P \Rightarrow$

因此：

$A^{100} = P^{- 1} B^{100} P$

又由于：

$B^{2} =$

$[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] = E$