对带有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：配方后得到的式子中没有的项也要通过乘以系数 0 的方式“凑”上去

一、题目

使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3$ 化为标准形，并写出对应的线性变换矩阵。

难度评级：

二、解析

Tips:

关于拉格朗日配方法的完整讲解，可以参阅《将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法》这篇文章。

首先，按照拉格朗日配方法的要求进行配方：

$$f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3\Rightarrow$$

$$f=(x_1^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3)+2x_2^2+5x_3^2+6x_2{x}_3\Rightarrow$$

$$f=[{(x_1+x_2+x_3)}^2-x_2^2-x_3^2-2x_2{x}_3]+$$

$$2x_2^2+5x_3^2+6x_2{x}_3\Rightarrow$$

$$f={(x_1+x_2+x_3)}^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2{x}_3\Rightarrow$$

$$f={(x_1+x_2+x_3)}^2+{(x_2+2x_3)}^2\Rightarrow$$

$$f=1\cdot {(x_1+x_2+x_3)}^2+1\cdot {(x_2+2x_3)}^2+0\cdot x_3^2\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+2x_3\\ y_3=x_3\end{array}\iff$$

Tips:

上面的 $x_3^2$ 就是用来凑数的，不然没法满足矩阵运算的需求——假如配方最终得到的式子中不含有 $x_3^2$ 项，则可以认为该项的系数是 $0$.

反解：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2+y_3\\ x_2=y_2-2y_3\\ x_3=y_3\end{array}$$

即：

$$\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]$$

于是，二次型 $f$ 的标准型就是：

$$f=y_1^2+y_2^2$$

对应的变换矩阵为：

$$C=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

其中 $|C|=1\ne 0$ 说明矩阵 $C$ 可逆，满足条件。

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