对带有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：配方后得到的式子中没有的项也要通过乘以系数 0 的方式“凑”上去

一、题目

使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并写出对应的线性变换矩阵。

难度评级：

二、解析

Tips:

关于拉格朗日配方法的完整讲解，可以参阅《将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法》这篇文章。

首先，按照拉格朗日配方法的要求进行配方：

$$
f=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3} \Rightarrow
$$

$$
f=\left(x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}\right)+2 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+6 x_{2} x_{3} \Rightarrow
$$

$$
f=\left[\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-2 x_{2} x_{3}\right]+
$$

$$
2 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+6 x_{2} x_{3} \Rightarrow
$$

$$
f=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}+x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3} \Rightarrow
$$

$$
f = \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2} + \left(x_{2}+2 x_{3}\right)^{2} \Rightarrow
$$

$$
f= \textcolor{orange}{1 \cdot} \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2} + \textcolor{orange}{1 \cdot} \left(x_{2}+2 x_{3}\right)^{2} + \textcolor{red}{0 \cdot x_{3}^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}y_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ y_{2}=x_{2}+2 x_{3} \\ y_{3}= \textcolor{red}{x_{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow
$$

Tips:

上面的 $\textcolor{red}{x_{3}^{2}}$ 就是用来凑数的，不然没法满足矩阵运算的需求——假如配方最终得到的式子中不含有 $x_{3}^{2}$ 项，则可以认为该项的系数是 $\textcolor{red}{0}$.

反解：

$$
\left\{\begin{array}{l}x_{1}=y_{1}-y_{2}+y_{3} \\ x_{2}=y_{2}-2 y_{3} \\ x_{3}=y_{3}\end{array} \right.
$$

即：

$$
{\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right]}
$$

于是，二次型 $f$ 的标准型就是：

$$
f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}
$$

对应的变换矩阵为：

$$
C = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

其中 $|C|=1 \neq 0$ 说明矩阵 $C$ 可逆，满足条件。

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