只要存在线性相关的向量，则组成的行列式一定值为零——但一定要记得验证所得未知数的值是否会导致原本线性无关的向量变得线性相关

一、题目

已知向量 $\boldsymbol{\beta}=(1, a,-1)^{\mathrm{\top}}$ 可以由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+2,7,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,2)^{\mathrm{\top}}$ 线性表出，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}a+2 & 1 & 1 \\ 7 & -1 & a \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}a+2 & 1 & 0 \\ a+9 & 0 & a+1 \\ -2 a-3 & 0 & -3\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
3 a+27-\left(2 a^{2}+5 a+3\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
a^{2}+a-12=0 \Rightarrow \\ (a-3)(a+4)=0 \Rightarrow
$$

$a=3$，或者 $a=-4$.

注意：如果题目说了 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 线性无关，我们又不能直接在不知道 $a$ 的取值的情况下判断出 $\alpha_{1}$ 与 $\alpha_{2}$ 线性无关（当然，本题不存在这种情况，因为从已知数字就可以知道 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 显然线性无关），则，我们接下来就需要判断一下，$a = 3$ 或 $-4$ 的时候，会不会导致 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 线性无关。

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