怎么判断微分方程是线性的？这里有三个判断条件和一道典型例题

一、题目

下面哪些是线性微分方程：

(1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$

(2) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$

(3) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$

(4) $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$

难度评级：

二、解析

前提知识

在没有特别指明的情况，可以将 $y$ 看作 $x$ 的函数，即 $y(x)$, 也可以将 $x$ 看作 $y$ 的函数，即 $x(y)$

线性微分方程的特征

1. 未知函数及其各阶导函数的次幂都是一次的；
2. 未知函数及其各阶导函数的系数只能含有自变量或常数，例如 $y^{\prime} + p(x) y = q(x)$ 中的 $p(x)$ 对函数 $y(x)$ 而言，就是一个只含有自变量的系数；
3. 不能出现未知函数及其各阶导数的复合函数形式，例如，当 $y$ 为 $x$ 的函数时，如果出现了 $\cos y$, 那么，这个方程就不是关于 $y(x)$ 的线性微分方程（但有可能是关于 $x(y)$ 的线性微分方程）。

下面是具体解析步骤：

(1)

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=(\sin x) y+e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=(\sin x) y+e^{x}
$$

是线性微分方程。

(2)

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=x \sin y+e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=x \sin y+e^{x}
$$

或者

$$
x^{\prime}=\frac{1}{x \sin y+e^{x}}
$$

无论是将 $y$ 还是 $x$ 看作未知函数都不是线性微分方程。

(3)

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\sin x+e^{y} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\sin x+e^{y}
$$

出现了关于 $y$ 的复合函数，不是线性微分方程。

(4)

$$
x \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\cos y+1 \Rightarrow
$$

$$
x y^{\prime}=\cos y+1 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\frac{1}{x} \cos y+\frac{1}{x}
$$

该方程关于 $y(x)$ 并不是线性微分方程。

但是：

$$
x \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\cos y+1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{x} \cdot \frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} y}=\frac{1}{\cos y+1} \Rightarrow
$$

$$
x^{\prime}=x \cdot \frac{1}{\cos y+1}
$$

因此，该方程关于 $x(y)$ 是线性微分方程。

综上可知，(1) 和 (4) 中的方程是线性微分方程。

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