怎么判断微分方程是线性的?这里有三个判断条件和一道典型例题

一、题目题目 - 荒原之梦

下面哪些是线性微分方程:

(1) dy dx=(sinx)y+ex

(2) dy dx=xsiny+ex

(3) dy dx=sinx+ey

(4) xdy dx=cosy+1

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

前提知识

在没有特别指明的情况,可以将 y 看作 x 的函数,即 y(x), 也可以将 x 看作 y 的函数,即 x(y)

线性微分方程的特征

  1. 未知函数及其各阶导函数的次幂都是一次的;
  2. 未知函数及其各阶导函数的系数只能含有自变量或常数,例如 y+p(x)y=q(x) 中的 p(x) 对函数 y(x) 而言,就是一个只含有自变量的系数;
  3. 不能出现未知函数及其各阶导数的复合函数形式,例如,当 yx 的函数时,如果出现了 cosy, 那么,这个方程就不是关于 y(x) 的线性微分方程(但有可能是关于 x(y) 的线性微分方程)。

下面是具体解析步骤:

(1)

 dy dx=(sinx)y+ex

y=(sinx)y+ex

是线性微分方程。

(2)

 dy dx=xsiny+ex

y=xsiny+ex

或者

x=1xsiny+ex

无论是将 y 还是 x 看作未知函数都不是线性微分方程。

(3)

 dy dx=sinx+ey

y=sinx+ey

出现了关于 y 的复合函数,不是线性微分方程。

(4)

x dy dx=cosy+1

xy=cosy+1

y=1xcosy+1x

该方程关于 y(x) 并不是线性微分方程。

但是:

x dy dx=cosy+1

1x dx dy=1cosy+1

x=x1cosy+1

因此,该方程关于 x(y) 是线性微分方程。

综上可知,(1) 和 (4) 中的方程是线性微分方程。


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