判断一阶线性微分方程的解是否是一个周期函数

一、题目

已知 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=O(y=y(x) \neq 0)$ 有解且以 $T$ 为周期的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

和本题相关的基础知识，可以参考《周期函数的积分性质汇总》。

下文中的 $C$ 表示任意常数。

首先，求出来该一阶线性微分方程的解：

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}+P(x) y=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}+P(x) y=0 \Rightarrow
$$

套入公式：

$$
y=\left[\int 0 \cdot e^{\int P(x) \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x+C\right] e^{-\int P(x) \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

$$
y=C e^{-\int P(x) \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

写成变限积分的形式：

$$
y=C e^{-\int_{0}^{x} P(t) \mathrm{~ d} t}
$$

Tips:

一般情况下，我们可以认为变上限积分和不定积分只相差了常数 $C$, 同时，一个函数加上或者减去任意常数并不会影响其周期性，具体内容可以参考《不定积分和变上限积分的联系与区别》

方法一

$$
y(x+T)-y(x)=
$$

$$
C \left[e^{-\int_{0}^{x+T} p(t) d t}-e^{-\int_{0}^{x} p(t) d t}\right] \Rightarrow
$$

$$
C e^{-\int_{0}^{x} p(t) d t}\left[e^{-\int_{0}^{T} p(t) d t}-1\right] \Rightarrow
$$

$$
C e^{-\int_{0}^{x} p(t) d t}\left[e^{0}-1\right]=0
$$

方法二

根据定义，$y=C e^{-\int_{0}^{x} P(t) \mathrm{~ d} t}$ 以 $T$ 为周期就等价于 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$.

综上可知，$\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=O(y=y(x) \neq 0)$ 有解且以 $T$ 为周期的【充分且必要条件】。

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