判断一阶线性微分方程的解是否是一个周期函数

一、题目

已知 $P(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续, 且以 $T$ 为周期，则 ${\int }_0^{T}P(x)\mathrm{d}x=0$ 是方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=O(y=y(x)\ne 0)$ 有解且以 $T$ 为周期的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

和本题相关的基础知识，可以参考《周期函数的积分性质汇总》。

下文中的 $C$ 表示任意常数。

首先，求出来该一阶线性微分方程的解：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime }+P(x)y=0\Rightarrow$$

套入公式：

$$y=[\int 0\cdot e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$y=C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

写成变限积分的形式：

$$y=C{e}^{-{\int }_0^{x}P(t)\mathrm{d}t}$$

Tips:

一般情况下，我们可以认为变上限积分和不定积分只相差了常数 $C$, 同时，一个函数加上或者减去任意常数并不会影响其周期性，具体内容可以参考《不定积分和变上限积分的联系与区别》

方法一

$$y(x+T)-y(x)=$$

$$C[e^{-{\int }_0^{x+T}p(t)dt}-e^{-{\int }_0^{x}p(t)dt}]\Rightarrow$$

$$C{e}^{-{\int }_0^{x}p(t)dt}[e^{-{\int }_0^{T}p(t)dt}-1]\Rightarrow$$

$$C{e}^{-{\int }_0^{x}p(t)dt}[e^0-1]=0$$

方法二

根据定义，$y=C{e}^{-{\int }_0^{x}P(t)\mathrm{d}t}$ 以 $T$ 为周期就等价于 ${\int }_0^{T}P(x)\mathrm{d}x=0$.

综上可知，${\int }_0^{T}P(x)\mathrm{d}x=0$ 是方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=O(y=y(x)\ne 0)$ 有解且以 $T$ 为周期的【充分且必要条件】。

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