含有无穷多项相加的数列极限问题很可能就可以转化为积分问题

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n^{2}}}\right)=?
$$

难度评级：

二、解析

由题可得：

$$
\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n^{2}}}=
$$

$$
\frac{1}{n^{2} \sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt[n]{1+\frac{16}{n^{2}}}}+\cdots+\frac{1}{n \sqrt{1+4}}=
$$

$$
\frac{1}{n}\left[\frac{1}{\sqrt{1+4\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+4\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{1+4\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}}\right].
$$

于是：

$$
I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+(2 x)^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow} \Rightarrow
$$

$$
x \in(0,1) \Rightarrow t=2 x \in(0,2) \Rightarrow \mathrm{~ d} t=2 \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+(2 x)^{2}}} \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

又有公式：

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} \mathrm{~ d} x=\ln \left|x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right|+C
$$

因此：

$$
I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\left.\frac{1}{2} \ln \left|t+\sqrt{t^{2}+1}\right|\right|_{0} ^{2}=
$$

$$
\frac{1}{2}[\ln |2+\sqrt{5}|-\ln 1]=\frac{1}{2} \ln |\sqrt{5}+2| =
$$

$$
\frac{1}{2} \ln (\sqrt{5}+2)
$$

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