带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法

一、题目

下列函数中在 $x = 0$ 处不可导的是哪一个？

(A) $\int_{0}^{x} (| t | + t) d t$

(B) $| x | [x + \int_{0}^{| x |} e^{t^{2}} d t]$

(D) $\sin | x | + \cos | x |$

难度评级：

二、解析

A 选项

$A$ 选项中的被积函数是一个连续函数，连续的函数一定可积，如果这个积分是一个变限积分当然也是可积的，因此，被积函数为连续函数的变限积分一定可导。

B 选项

该选项中的函数是否可积可以用一点处导数的定义判断，也可以借助如下定理判断：

$| x - a | φ (x) 在 x = a 处可导 \Leftrightarrow φ (a) = 0$

其中， $φ (x)$ 是连续函数。

上述结论的记忆方法： $| x - a |$ 在 $x = a$ 处是存在不可导的“尖点”的，但是， $φ (a) = 0$ 可以“弥合”这个尖点，让其变得“圆润”，因此 $| x - a | φ (x)$ 作为一个整体此时是可导的。

综上，若 $φ (x) = x + \int_{0}^{| x |} e^{t^{2}} d t$ , $x = 0$ , 则根据上述结论可知， $| x | [x + \int_{0}^{| x |} e^{t^{2}} d t]$ 是可导的。

C 选项

用定义判断：

$lim_{x \to 0} \frac{| \tan x - \sin x | - 0}{x - 0} =$

$lim_{x \to 0} \frac{| \tan x - \sin x |}{x} =$

$lim_{x \to 0} \frac{| \frac{1}{2} x^{3} |}{x} = lim_{x \to 0} \frac{高阶无穷小}{低阶无穷小} = 0$

D 选项

由于加绝对值相当于把位于 $X$ 轴下方的图象向上翻了，此时， $\sin x$ 的函数图像会在 $x = 0$ 处形成不可导的“尖点”，而 $\cos x$ 由于在 $x = 0$ 处一直是大于零的（偶函数），因此不会因为绝对值运算在 $x = 0$ 处形成尖点，于是可知，当 $x \to 0$ 时：