什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值？

一、前言

你知道在哪些形式的矩阵中，矩阵对角线上的元素就是该矩阵的特征值吗？

难度评级：

！注意： 实对称矩阵主对角线上的元素不一定是特征值。

二、正文

根据特征值的求解公式 $|\lambda E–A|=0$ 可知，以下三类矩阵的主对角线元素都是特征值：

⭐ 对角矩阵
⭐ 上三角矩阵
⭐ 下三角矩阵

同时，如果上面这三种矩阵主对角线上的元素互不相等，则就构成了可相似对角化的充分条件。

原理如下：

$$|A|=\left|\begin{array}{lll}a& & \\ & b& \\ & & c\end{array}\right|\Rightarrow |\lambda E–A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& 0& 0\\ 0& \lambda -b& 0\\ 0& 0& \lambda -c\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -a)(\lambda –b)(\lambda –c)=0.$$

$$|A|=\left|\begin{array}{lll}a& \ast & \ast \\ 0& b& \ast \\ 0& 0& c\end{array}\right|\Rightarrow |\lambda E–A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& \ast & \ast \\ 0& \lambda -b& \ast \\ 0& 0& \lambda -c\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -a)(\lambda –b)(\lambda –c)=0.$$

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ \ast & b& 0\\ \ast & \ast & c\end{array}\right|\Rightarrow |\lambda E–A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& 0& 0\\ -\ast & \lambda -b& 0\\ -\ast & -\ast & \lambda -c\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -a)(\lambda –b)(\lambda –c)=0.$$

Tips: “$\ast$” 表示任意为零或者非零的实数。

---