相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $3$ 维线性无关的列向量，且有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=3 \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$, 又知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}3 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 可以是：

(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2},-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.

(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.

(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.

(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right]$.

难度评级：

二、解析

由题可知，$A$ 的特征值依次为：

$$
3, 3, 0
$$

其中，矩阵 $P$ 的列向量由与这些特征值依次对应的特征向量组成，这些特征向量依次为：

$$
\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$

且：

$$
\alpha_{1} = \alpha_{2}
$$

于是：

$$
A \alpha_{1} = 3 \alpha_{1} \Rightarrow A 2 \alpha_{1} = 3 \cdot 2 \alpha_{1} = 3 \cdot \textcolor{orange}{(\alpha_{1} + \alpha_{2})}
$$

$$
A \alpha_{2} = 3 \alpha_{2} \Rightarrow A 2 \alpha_{2} = 3 \cdot \textcolor{orange}{2 \alpha_{2}}
$$

$$
A \alpha_{3} = 0 \Rightarrow A \cdot (-3) \alpha_{3} = 0 \cdot \textcolor{orange}{(-3) \alpha_{3}} = 0
$$

综上可知，$(A)$ 选项正确。

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