相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是四阶矩阵，${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是 $3$ 维线性无关的列向量，且有 $\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_1=3{\mathit{\alpha }}_1,\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_2=3{\mathit{\alpha }}_2$, $\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_3=\mathbf{0}$, 又知 ${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\left[\begin{array}{lll}3& & \\ & 3& \\ & & 0\end{array}\right]$, 则 $\mathit{P}$ 可以是：

(A) $[{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,2{\mathit{\alpha }}_2,-3{\mathit{\alpha }}_3]$.

(B) $[{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3]$.

(C) $[{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,2{\mathit{\alpha }}_1+2{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3]$.

(D) $[{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_1]$.

难度评级：

二、解析

由题可知，$A$ 的特征值依次为：

$$3,3,0$$

其中，矩阵 $P$ 的列向量由与这些特征值依次对应的特征向量组成，这些特征向量依次为：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

且：

$${\alpha }_1={\alpha }_2$$

于是：

$$A{\alpha }_1=3{\alpha }_1\Rightarrow A2{\alpha }_1=3\cdot 2{\alpha }_1=3\cdot ({\alpha }_1+{\alpha }_2)$$

$$A{\alpha }_2=3{\alpha }_2\Rightarrow A2{\alpha }_2=3\cdot 2{\alpha }_2$$

$$A{\alpha }_3=0\Rightarrow A\cdot (-3){\alpha }_3=0\cdot (-3){\alpha }_3=0$$

综上可知，$(A)$ 选项正确。

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