线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量

一、题目

要使 $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可 以是下列哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right]$.

(B) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.

(C) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -6 & 3 & 3\end{array}\right]$.

(D) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.

难度评级：

二、解析

首先，由于 $\eta_{1}$ 和 $\eta_{2}$ 线性无关，因此，$Ax = 0$ 的基础解系中至少存在两个线性无关的解向量，因此，$Ax = 0$ 的系数矩阵中至少有两个自由未知数，也就是有两个全零行，即：

$$
r(A) \leqslant 1
$$

由此可以排除 $(B)$ 和 $(D)$ 两个选项。

又因为，$(A)$ 选项中的矩阵和 $\eta_{2}$ 相乘所得的结果如下：

$$
\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]
$$

不符合：

$$
\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right] x=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]
$$

因此可知，$(A)$ 选项不成立。

综上可知，符合题意的只有 $(C)$ 选项。

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