线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量

一、题目

要使 ${\mathit{\eta }}_1=(1,0,2{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\eta }}_2=(0,1,-1{)}^{\mathrm{\top }}$ 都是齐次方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\mathit{A}$ 可 以是下列哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}2& 0& -1\\ 4& 0& -2\end{array}\right]$.

(B) $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$.

(C) $\left[\begin{array}{ccc}4& -2& -2\\ 2& -1& -1\\ -6& 3& 3\end{array}\right]$.

(D) $\left[\begin{array}{ccc}4& -2& -2\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$.

难度评级：

二、解析

首先，由于 ${\eta }_1$ 和 ${\eta }_2$ 线性无关，因此，$Ax=0$ 的基础解系中至少存在两个线性无关的解向量，因此，$Ax=0$ 的系数矩阵中至少有两个自由未知数，也就是有两个全零行，即：

$$r(A)⩽1$$

由此可以排除 $(B)$ 和 $(D)$ 两个选项。

又因为，$(A)$ 选项中的矩阵和 ${\eta }_2$ 相乘所得的结果如下：

$$\left[\begin{array}{lll}2& 0& -1\\ 4& 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]$$

不符合：

$$\left[\begin{array}{lll}2& 0& -1\\ 4& 0& -2\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\right]$$

因此可知，$(A)$ 选项不成立。

综上可知，符合题意的只有 $(C)$ 选项。

---