线性方程组有几个自由未知数,就有几个线性无关的解向量

一、题目题目 - 荒原之梦

要使 η1=(1,0,2),η2=(0,1,1) 都是齐次方程组 Ax=0 的解,则矩阵 A 可 以是下列哪一个?

(A) [201402].

(B) [201011].

(C) [422211633].

(D) [422011011].

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,由于 η1η2 线性无关,因此,Ax=0 的基础解系中至少存在两个线性无关的解向量,因此,Ax=0 的系数矩阵中至少有两个自由未知数,也就是有两个全零行,即:

r(A)1

由此可以排除 (B)(D) 两个选项。

又因为,(A) 选项中的矩阵和 η2 相乘所得的结果如下:

[201402][011][12]

不符合:

[201402]x=[00]

因此可知,(A) 选项不成立。

综上可知,符合题意的只有 (C) 选项。


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