自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵化为阶梯形是 [110250013000001], 则方程组自由变量不能取成下列的哪一项?

(A) x2,x3.

(B) x2,x5.

(C) x1,x4.

(D) x1,x2.

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由题可知,将 x1, x3x5 作为非自由变量,将 x2x4 作为自由变量是很合适的。

当然,x1x2 可以互相为自由和非自由未知数,x3x4 也可以互相为自由和非自由未知数,但是,x5 的作用并没有谁可以代替它,因为,第五列的第三个元素 1 对应的其他列的第三个元素都是零,如果让 x5 作为自由未知数,那么,将导致 x5 的解无法被确定。

综上可知判断出 (B) 选项符合题意。

同时,我们也可以采取另一种办法求解本题:

由题可知,该系数矩阵的秩为 3, 因此,我们选出来的非自由未知数组成的新的矩阵的秩也必须为 3, 如果由非自由未知数组成的新的矩阵的秩小于 3, 那么,就会导致题目中齐次方程组某些解无法被求出。

但是,如果,我们将 x2x5 作为自由未知数,那么,由非自由未知数 x1, x3x4 组成的矩阵就是:

|102013000|=0

r|102013000|<3.

通过这个方法也可以判断出 (B) 选项为符合题意的选项。


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