自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的

一、题目

已知，齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵化为阶梯形是 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则方程组自由变量不能取成下列的哪一项？

(A) $x_{2}, x_{3}$.

(B) $x_{2}, x_{5}$.

(C) $x_{1}, x_{4}$.

(D) $x_{1}, x_{2}$.

难度评级：

二、解析

由题可知，将 $x_{1}$, $x_{3}$ 和 $x_{5}$ 作为非自由变量，将 $x_{2}$ 和 $x_{4}$ 作为自由变量是很合适的。

当然，$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 可以互相为自由和非自由未知数，$x_{3}$ 和 $x_{4}$ 也可以互相为自由和非自由未知数，但是，$x_{5}$ 的作用并没有谁可以代替它，因为，第五列的第三个元素 $1$ 对应的其他列的第三个元素都是零，如果让 $x_{5}$ 作为自由未知数，那么，将导致 $x_{5}$ 的解无法被确定。

综上可知判断出 $(B)$ 选项符合题意。

同时，我们也可以采取另一种办法求解本题：

由题可知，该系数矩阵的秩为 $3$, 因此，我们选出来的非自由未知数组成的新的矩阵的秩也必须为 $3$, 如果由非自由未知数组成的新的矩阵的秩小于 $3$, 那么，就会导致题目中齐次方程组某些解无法被求出。

但是，如果，我们将 $x_{2}$ 和 $x_{5}$ 作为自由未知数，那么，由非自由未知数 $x_{1}$, $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 组成的矩阵就是：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
=0 \Rightarrow
$$

$$
r\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} < 3.
$$

通过这个方法也可以判断出 $(B)$ 选项为符合题意的选项。

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