千万不要被这道题目的表象骗了：有些条件并不是真正的已知条件

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵, ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是三维线性无关的列向量，且 $\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_1={\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3,\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_2={\mathit{\alpha }}_1+$ ${\mathit{\alpha }}_3,\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_3={\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2$, 则矩阵 $\mathit{A}$ 的特征值是（）

难度评级：

二、解析

错误解法

本题乍看上去像是可以凑成如下形式，直接计算出特征值：

$$A{\alpha }_1={\alpha }_2+{\alpha }_3={\lambda }_1{\alpha }_1$$

$$A{\alpha }_2={\alpha }_1+{\alpha }_3={\lambda }_2{\alpha }_2$$

$$A{\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2={\lambda }_3{\alpha }_3$$

但是，这么做的一个漏洞在于，题目中并没有说 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_3$ 是矩阵 $A$ 的特征值，因此，上面的步骤就不成立。

正确解法

由题可得：

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=$$

$$(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=$$

$$({\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+{\alpha }_3,{\alpha }_1+{\alpha }_2)=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{lll}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$

于是，若令：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),B=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$

其中，$P$ 是可逆矩阵。

则：

$$AP=PB\Rightarrow P^{-1}AP=P^{-1}PB\Rightarrow P^{-1}AP=B\Rightarrow$$

$$A\sim B\Rightarrow$$

$$\lambda E-A\sim \lambda E-B$$

Tips:

相似矩阵的特征值相同。

于是：

$$|\lambda E-B|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& -1\\ -1& \lambda & -1\\ -1& -1& \lambda \end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& -1-\lambda & 0\\ 0& \lambda +1& -1-\lambda \\ -1& -1& \lambda \end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\lambda (\lambda +1{)}^2-(-1-\lambda {)}^2+(\lambda +1)(-1-\lambda )=0\Rightarrow$$

$$\lambda (\lambda +1{)}^2-(\lambda +1{)}^2-(\lambda +1{)}^2=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +1{)}^2(\lambda -2)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=2$$

---