行列式能化简就化简：注意把能求出实数解的部分分离出来

一、题目

矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的实特征值所对应的特征向量是（）

难度评级：

二、解析

首先，计算实特征值：

$$
|\lambda E-\lambda|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda+3 & 1 & -2 \\ 0 & \lambda+1 & -4 \\ 1 & 0 & \lambda-1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda+3 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda+1 & 2 \lambda-2 \\ 1 & 0 & \lambda-1\end{array}\right| \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda+3 & 1 & 0 \\ -2 & \lambda+1 & 0 \\ 1 & 0 & \lambda-1\end{array}\right| \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda+3)+2(\lambda-1)=0
$$

$$
(\lambda-1)[(\lambda+1)(\lambda+3)+2]=0
$$

$$
(\lambda-1)\left[\lambda^{2}+4 \lambda+5\right]=0
$$

又可知，$\lambda^{2}+4 \lambda+5$ 不存在实特征值：

$$
\lambda^{2}+4 \lambda+5 \Rightarrow \lambda=\frac{-4 \pm \sqrt{16-20}}{2}
$$

于是，实特征值为：

$$
\lambda-1=0 \Rightarrow \lambda=1
$$

接下来，求解实特征值 $1$ 对应的特征向量：

$$
(\lambda E – A) x=0 \Rightarrow(E – A) x=0 \Rightarrow
$$

$$
E-A=\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]. \tag{1}
$$

又：

$$
x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\top}
$$

由前面的矩阵 $(1)$ 可知，自由未知数为 $x_{3}$, 因此，令 $x_{3}=1$, 则：

$$
x_{1}=0, x_{2}=2
$$

进而：

$$
x=(0,2,1)^{\top}
$$

于是，实特征值对应的特征向量为 $k x=k(0,2,1)^{\top}$, 其中，$k \neq 0$.

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