行列式能化简就化简：注意把能求出实数解的部分分离出来

一、题目

矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3& -1& 2\\ 0& -1& 4\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$ 的实特征值所对应的特征向量是（）

难度评级：

二、解析

首先，计算实特征值：

$$|\lambda E-\lambda |=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +3& 1& -2\\ 0& \lambda +1& -4\\ 1& 0& \lambda -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +3& 1& 0\\ 0& \lambda +1& 2\lambda -2\\ 1& 0& \lambda -1\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +3& 1& 0\\ -2& \lambda +1& 0\\ 1& 0& \lambda -1\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)(\lambda +1)(\lambda +3)+2(\lambda -1)=0$$

$$(\lambda -1)[(\lambda +1)(\lambda +3)+2]=0$$

$$(\lambda -1)[{\lambda }^2+4\lambda +5]=0$$

又可知，${\lambda }^2+4\lambda +5$ 不存在实特征值：

$${\lambda }^2+4\lambda +5\Rightarrow \lambda =\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}$$

于是，实特征值为：

$$\lambda -1=0\Rightarrow \lambda =1$$

接下来，求解实特征值 $1$ 对应的特征向量：

$$(\lambda E–A)x=0\Rightarrow (E–A)x=0\Rightarrow$$

$$E-A=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 0& 2& -4\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 0& 1& -2\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$

又：

$$x={(x_1,x_2,x_3)}^{\mathrm{\top }}$$

由前面的矩阵 $(1)$ 可知，自由未知数为 $x_3$, 因此，令 $x_3=1$, 则：

$$x_1=0,x_2=2$$

进而：

$$x=(0,2,1{)}^{\mathrm{\top }}$$

于是，实特征值对应的特征向量为 $kx=k(0,2,1{)}^{\mathrm{\top }}$, 其中，$k\ne 0$.

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