有无穷多解的齐次线性方程组的系数矩阵一定不满秩

一、题目

已知齐次线性方程组 $\{\begin{array}{rl}a{x}_1-3x_2+3x_3& =0\\ x_1+(a+2)x_2+3x_3& =0\\ 2x_1+x_2-x_3& =0\end{array}$ 有无穷多解，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

本题中的系数矩阵是一个方阵，因此，可以转换为行列式计算（行列式一定是方阵）：

$$\left|\begin{array}{ccc}a& -3& 3\\ 1& a+2& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$-a(a+2)-18+3-6(a+2)-3-3a=0\Rightarrow$$

$$a^2+11a+30=0\Rightarrow$$

$$a=\frac{-11\pm \sqrt{121-120}}{2}\Rightarrow$$

$$a=-6,a=-5$$

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