大于四阶的常数矩阵乘法一般是不需要我们真的去计算的

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则秩 $r(\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{A})=?$

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二、解析

由题可知：

$$
A B+2 A=A(B+2 E)
$$

又：

$$
B+2 E=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right] \Rightarrow|B+2 E| \neq 0
$$

于是可知，矩阵 $B+2 E$ 可逆，因此，$A(B+2 E)$ 的秩只取决于 $A$.

且：

$$
A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & -2 & -4 & -6 \\ 0 & -3 & -6 & -9\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 3 & 6 & 9\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

综上可知：

$$
r(A)=2 \Rightarrow r(A B+2 A)=2.
$$

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