大于四阶的常数矩阵乘法一般是不需要我们真的去计算的

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right]$, $\mathit{B}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& -1& 2\\ 0& -1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$, 则秩 $r(\mathit{A}\mathit{B}+2\mathit{A})=?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$AB+2A=A(B+2E)$$

又：

$$B+2E=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 2\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 3& 4\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right]\Rightarrow |B+2E|\ne 0$$

于是可知，矩阵 $B+2E$ 可逆，因此，$A(B+2E)$ 的秩只取决于 $A$.

且：

$$A=\left[\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& -1& -2& -3\\ 0& -2& -4& -6\\ 0& -3& -6& -9\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 2& 4& 6\\ 0& 3& 6& 9\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 1& 2& 3\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

综上可知：

$$r(A)=2\Rightarrow r(AB+2A)=2.$$

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