已知极大线性无关组求解未知数的值：记得回头验证

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2, a,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a+1,3,1)^{\mathrm{\top}}$ 的一个极大线性无关组，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a+1 \\ 4 & a & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a+1 \\ 0 & a-8 & -4 a-1 \\ 0 & -7 & -3 a-2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

按照第一列展开：

$$
\left|\begin{array}{cc}a-8 & -4 a-1 \\ -7 & -3 a-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(a-8)(-3 a-2)+7(-4 a-1) \Rightarrow
$$

$$
(8-a)(3 a+2)-7(4 a+1)=
$$

$$
24 a+16-3 a^{2}-2 a-28 a-7 \Rightarrow
$$

$$
-3 a^{2}-6 a+9=0 \Rightarrow
$$

$$
a^{2}+2 a-3=0 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2 \pm 4}{2}=
$$

$$
a=-3, a=1.
$$

当 $a=-3$ 时：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 0 & -11 & 11 \\ 0 & -7 & 7\end{array}\right]
$$

当 $a=1$ 时：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -5 \\ 0 & -7 & -5\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
$$

因此，$a=-3$ 和 $a=1$ 都满足条件。

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