已知极大线性无关组求解未知数的值：记得回头验证

一、题目

已知 $α_{1}$ , $α_{2}$ 是向量组 $α_{1} = (1, 4, 3)^{⊤}$ , $α_{2} = (2, a, - 1)^{⊤}$ , $α_{3} = (a + 1, 3, 1)^{⊤}$ 的一个极大线性无关组，则 $a = ?$

难度评级：

二、解析

$[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & a + 1 \\ 4 & a & 3 \\ 3 & - 1 & 1 \end{array}] \Rightarrow$

初等行变换：

$[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & a + 1 \\ 0 & a - 8 & - 4 a - 1 \\ 0 & - 7 & - 3 a - 2 \end{array}] \Rightarrow$

按照第一列展开：

$| \begin{array}{cc} a - 8 & - 4 a - 1 \\ - 7 & - 3 a - 2 \end{array} | = 0 \Rightarrow$

$(a - 8) (- 3 a - 2) + 7 (- 4 a - 1) \Rightarrow$

$(8 - a) (3 a + 2) - 7 (4 a + 1) =$

$24 a + 16 - 3 a^{2} - 2 a - 28 a - 7 \Rightarrow$

$- 3 a^{2} - 6 a + 9 = 0 \Rightarrow$

$a^{2} + 2 a - 3 = 0 \Rightarrow$

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{- 2 \pm 4}{2} =$

$a = - 3, a = 1.$

当 $a = - 3$ 时：

$[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 2 \\ 0 & - 11 & 11 \\ 0 & - 7 & 7 \end{array}]$

当 $a = 1$ 时：

$[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 0 & - 7 & - 5 \\ 0 & - 7 & - 5 \end{array}] \Rightarrow [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

因此， $a = - 3$ 和 $a = 1$ 都满足条件。

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