拼接矩阵会对秩产生什么样的影响？

一、题目

已知 $A, B$ 均为 $n$ 阶非零矩阵, 且秩 $r (A) = r (B)$ , 则以下说法中，正确的是哪个？

(A) $r (A, B) = r (A)$ .

(B) $r (A, B) = 2 r (B)$ .

(D) $r (A - B) = 0$ .

难度评级：

若：

$A = [\begin{array}{ll} 0 & 1 0 & 0 \end{array}], B = [\begin{array}{ll} 0 & 0 1 & 0 \end{array}] .$

则：

$r (A, B) = r [\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}] = 2.$

若：

$A = [\begin{array}{ll} 0 & 1 0 & 0 \end{array}], B = [\begin{array}{ll} 0 & 0 0 & 0 \end{array}] .$

则：

$r (A, B) = r [\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] = 1$

综上可知，只有 $C$ 选项正确。

设：

$A = (α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}) B = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})$

则由题可知：

$A$ 中存在极大无关组 $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r})$ 使得 $r (A) = r$ .

$B$ 中存在极大无关组 $(β_{1}, β_{2}, \dots, β_{r})$ 使得 $r (B) = r$ .

且 $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})$ 可以被 $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r})$ 和 $(β_{1}, β_{2}, \dots, β_{r})$ 线性表出。

于是：

$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}) ⩽ r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{r}) .$

又：

$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{r}) ⩽ 2 r .$

因此：

$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}) ⩽ 2 r = 2 r (A) = 2 r (B) .$