四两拨千斤：把计算代数余子式之和转变为求解行列式的值

一、题目

已知，有行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1& 1& 0& 0\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 3& 3\\ 4& 0& 0& 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和是多少？

难度评级：

二、解析

方法一：四两拨千斤

我们知道，一个元素的代数余子式和这个元素本身是没有关系的——但是，“如果这个元素”是 $1$ 的话，也可以说和“这个元素”有关系，因为乘以 $1$ 和不乘以 $1$ 并没有任何区别。

基于上面的分析我们知道，求解行列式 $\left|\begin{array}{llll}1& 1& 0& 0\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 3& 3\\ 4& 0& 0& 4\end{array}\right|$ 第一行元素的代数余子式之和，其实就是将下面这个行列式按照第一行元素降阶展开：

$$\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 3& 3\\ 4& 0& 0& 4\end{array}\right|$$

更进一步，将上面的行列式按照第一行元素降阶展开，其实就是求解该行列式的值——

但是，如果要求解一个行列式的值，无论按照哪一行或者哪一列展开所得到的值都是一样的，因此，为了简便期间，我们可以按照第一列展开，于是：

$$\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 3& 3\\ 4& 0& 0& 4\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{lll}2& 2& 0\\ 0& 3& 3\\ 0& 0& 4\end{array}\right|–4\left|\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 2& 2& 0\\ 0& 3& 3\end{array}\right|=24–4(6+6-6)=0.$$

当然，既然题目所给问题已经转变成了求解 $\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 3& 3\\ 4& 0& 0& 4\end{array}\right|$ 的值，我们也可以先对该行列式进行化简：

Tips:

将行列中中的某一行的 $k$ 被加到另一行上不会改变行列式的值。具体内容可以参考《初等变换有可能改变行列式的值吗?》

$$\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 3& 3\\ 4& 0& 0& 4\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{llll}0& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& 0\\ -3& 0& 3& 3\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{llll}0& 1& 0& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ -3& 0& 3& 3\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right|=0.$$

综上可知，代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=0$.

方法二：大力出奇迹

本题也可以直接计算，过程如下（用了两次展开降阶操作）：

$$\left|\begin{array}{lll}2& 2& 0\\ 0& 3& 3\\ 0& 0& 4\end{array}\right|-\left|\begin{array}{lll}0& 2& 0\\ 0& 3& 3\\ 4& 0& 4\end{array}\right|+$$

$$\left|\begin{array}{lll}0& 2& 0\\ 0& 0& 3\\ 4& 0& 4\end{array}\right|-\left|\begin{array}{lll}0& 2& 2\\ 0& 0& 3\\ 4& 0& 0\end{array}\right|=$$

$$2\left|\begin{array}{ll}3& 3\\ 0& 4\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}0& 3\\ 0& 4\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll}0& 3\\ 4& 4\end{array}\right|-$$

$$2\left|\begin{array}{ll}0& 3\\ 4& 4\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll}0& 3\\ 4& 0\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}0& 0\\ 4& 0\end{array}\right|=$$

$$2\left|\begin{array}{ll}3& 3\\ 0& 4\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll}0& 3\\ 4& 0\end{array}\right|=$$

$$2\times 12-2\times 12=0.$$

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