这个不等式反映了积分的本质原理

一、题目

已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime}(x)>0$, 则当 $\Delta x>0$ 时，$\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t$, $f(x) \Delta x$ 和 $0$ 的大小关系如何？

难度评级：

二、解析

1. $\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t$ 表示的是底边长为 $\Delta x$, 顶部边为曲线 $f(x)$ 的曲顶梯形的面积；
2. $f(x) \Delta x$ 表示的是位于上面提到的曲顶梯形内部的，底部边长为 $\Delta x$, 高为 $f(x)$ 的矩形的面积；
3. 由于 $f(x)>0$ 且 $f^{\prime}(x)>0$, 因此，函数 $f(x)$ 是一个位于 $X$ 轴上方单调递增的函数。

综上可知：

$$
\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0.
$$

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