这个不等式反映了积分的本质原理

一、题目

已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime }(x)>0$, 则当 $\mathrm{\Delta }x>0$ 时，${\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t$, $f(x)\mathrm{\Delta }x$ 和 $0$ 的大小关系如何？

难度评级：

二、解析

1. ${\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t$ 表示的是底边长为 $\mathrm{\Delta }x$, 顶部边为曲线 $f(x)$ 的曲顶梯形的面积；
2. $f(x)\mathrm{\Delta }x$ 表示的是位于上面提到的曲顶梯形内部的，底部边长为 $\mathrm{\Delta }x$, 高为 $f(x)$ 的矩形的面积；
3. 由于 $f(x)>0$ 且 $f^{\prime }(x)>0$, 因此，函数 $f(x)$ 是一个位于 $X$ 轴上方单调递增的函数。

综上可知：

$${\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t>f(x)\mathrm{\Delta }x>0.$$

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