你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗? 一、题目 证明下面两个式子是成立的: 1. ∫0π4tanxx dx<1 2. ∫0π2sinxx dx>1 难度评级: 二、解析 01 由于: 1=4π∫0π41 dx⇒1=∫0π44π dx 于是: ∫0π4tanxx dx<1⇒ ∫0π4tanxx dx<∫0π44π dx⇒ ∫0π4(tanxx−4π) dx<0 令: φ(x)=tanxx−4π. 且: φ(π4)=1π4−4π=0 又: φ′(x)=xsec2x−tanxx2=x⋅1cos2x−sinxcosxx2= x−sinxcosxx2cos2x=x−12sin2xx2cos2x= 2x−sin2x2x2cos2x⇒ 且: 2x>sin2x 于是: φ′(x)>0⇒max[φ(x)]=φ(π4)=0⇒ φ(x)<0⇒∫0π4(tanxx−4π) dx<0⇒ 。∫0π4tanxx dx<1。 02 由于: 1=2π∫0π21 dx⇒1=∫0π22π dx. 因此: ∫0π2sinxx dx>1⇒∫0π2sinxx dx−∫0π22π dx>0⇒ ∫0π2(sinxx−2π) dx>0. 令: φ(x)=sinxx−2π⇒φ(π2)=1π2−2π=0 又: φ′(x)=xcosx−sinxx2=cosx(x−tanx)x2 x∈(0,π2)⇒x<tanx,cosx>0⇒ φ′(x)<0⇒φ(x)>0⇒∫0π2sinxx dx>1. 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花? 三元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 一个多层嵌套(复合函数)求偏导的题目 逆向解题:由偏导数求解偏积分 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 计算微分方程 y′′ + 2my′ + n2y = 0 满足一定条件特解的无穷限反常积分 二元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 你会判断积分不等式的正负性吗? 通过二元复合函数判断一元函数的极值点条件 2017年考研数二第12题解析 2018 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析 通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:∫ cos2xcos2x(1+sin2x) dx 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 “无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 [高数]有关变限积分求导的几种形式 集火攻击:多种方法解一道题 求解三角函数积分:能合并的先合并 先偏导再积分也能确定原函数 求三阶微分方程 y′′′ + y′′ − y′ − y = 0 满足指定初值的特解 y∗ 三角函数 sin 与 cos 有理式积分的一般解题思路 加加减减,凑凑拆拆:∫ sinxsinx+cosx dx 三角函数凑微分搭配分部积分:∫ 1cos3x dx