你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

证明下面两个式子是成立的:

1.

0π4tanxx dx<1

2.

0π2sinxx dx>1

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

01

由于:

1=4π0π41 dx1=0π44π dx

于是:

0π4tanxx dx<1

0π4tanxx dx<0π44π dx

0π4(tanxx4π) dx<0

令:

φ(x)=tanxx4π.

且:

φ(π4)=1π44π=0

又:

φ(x)=xsec2xtanxx2=x1cos2xsinxcosxx2=

xsinxcosxx2cos2x=x12sin2xx2cos2x=

2xsin2x2x2cos2x

且:

2x>sin2x

于是:

φ(x)>0max[φ(x)]=φ(π4)=0

φ(x)<00π4(tanxx4π) dx<0

0π4tanxx dx<1

02

由于:

1=2π0π21 dx1=0π22π dx.

因此:

0π2sinxx dx>10π2sinxx dx0π22π dx>0

0π2(sinxx2π) dx>0.

令:

φ(x)=sinxx2πφ(π2)=1π22π=0

又:

φ(x)=xcosxsinxx2=cosx(xtanx)x2

x(0,π2)x<tanx,cosx>0

φ(x)<0φ(x)>00π2sinxx dx>1.


荒原之梦考研数学思维导图
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