你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗？

一、题目

证明下面两个式子是成立的：

1.

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1
$$

2.

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1
$$

难度评级：

二、解析

01

由于：

$$
1=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \mathrm{~ d} x \Rightarrow 1=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{4}{\pi} \mathrm{~ d} x
$$

于是：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~ d} x<1 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~ d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{4}{\pi} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{x}-\frac{4}{\pi}\right) \mathrm{~ d} x<0
$$

令：

$$
\varphi(x)=\frac{\tan x}{x}-\frac{4}{\pi}.
$$

且：

$$
\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\frac{\pi}{4}}-\frac{4}{\pi}=0
$$

又：

$$
\varphi^{\prime}(x)=\frac{x \sec ^{2} x-\tan x}{x^{2}}=\frac{x \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{x^{2}}=
$$

$$
\frac{x-\sin x \cos x}{x^{2} \cos ^{2} x}=\frac{x-\frac{1}{2} \sin 2 x}{x^{2} \cos ^{2} x}=
$$

$$
\frac{2 x-\sin 2 x}{2 x^{2} \cos ^{2} x} \Rightarrow
$$

且：

$$
2x > \sin 2x
$$

于是：

$$
\varphi^{\prime}(x)>0 \Rightarrow \max [\varphi(x)]=\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
\varphi(x)<0 \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{x}-\frac{4}{\pi}\right) \mathrm{~ d} x<0 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~ d} x<1。
$$

02

由于：

$$
1=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{~ d} x \Rightarrow 1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} \mathrm{~ d} x.
$$

因此：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~ d} x>1 \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} \mathrm{~ d} x >0 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{x}-\frac{2}{\pi}\right) \mathrm{~ d} x > 0.
$$

令：

$$
\varphi(x)=\frac{\sin x}{x}-\frac{2}{\pi} \Rightarrow \varphi\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}-\frac{2}{\pi}=0
$$

又：

$$
\varphi^{\prime}(x)=\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}=\frac{\cos x(x-\tan x)}{x^{2}}
$$

$$
x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow x<\tan x, \quad \cos x>0 \Rightarrow
$$

$$
\varphi^{\prime}(x)<0 \Rightarrow \varphi(x)>0 \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~ d} x>1.
$$

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