你会判断积分不等式的正负性吗？

一、题目

证明下面两个结论：

1.

$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>0
$$

2.

$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0
$$

难度评级：

二、解析

01

由题可得：

$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x
$$

令：

$$
x=\pi+t \Rightarrow x \in(\pi, 2 \pi) \Rightarrow t \in(0, \pi).
$$

于是：

$$
\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (\pi+t)}{\pi+t} \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
-\int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{\pi+t} \mathrm{d} t=-\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\pi+x} \mathrm{d} x.
$$

于是：

$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x-\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\pi+x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int_{0}^{\pi}\left[\frac{\sin x}{x}-\frac{\sin x}{\pi+x}\right] \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{x(\pi+x)} \Rightarrow x \in(0, \pi).
$$

由于：

$$
\sin x>0, x>0, \pi+x>0
$$

因此：

$$
\int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{x(\pi+x)}>0
$$

即：

$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>0
$$

02

根据《快速判断函数奇偶性的口诀》和《如何判断一个函数是否是周期函数以及其周期是多少》这两篇文章可知，$\cos x \cdot \ln (2+\cos x)$ 是一个周期为 $2 \pi$ 的偶函数，于是：

$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x=
$$

$$
2 \int_{0}^{\pi} \cos x \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x=
$$

$$
2\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x+\right.
$$

$$
\left.\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x\right].
$$

令：

$$
t=\pi-x \Rightarrow x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \Rightarrow t \in\left(\frac{\pi}{2}, 0\right).
$$

于是：

$$
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}-\cos t \ln (2-\cos t)(-1) \mathrm{d} t=
$$

$$
\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x \ln (2-\cos x) \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x.
$$

进而：

$$
2\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x+\right.
$$

$$
\left.\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x \ln (2-\cos x) \mathrm{d} x\right]=
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\cos x \ln (2+\cos x)-\cos x \ln (2-\cos x)] \mathrm{d} x=
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x[\ln (2+\cos x)-\ln (2-\cos x)] \mathrm{d} x=
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot \ln \frac{2+\cos x}{2-\cos x} \mathrm{d} x.
$$

又：

$$
\frac{2+\cos x}{2-\cos x}>1 \Rightarrow \ln \frac{2+\cos x}{2-\cos x}>0
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot \ln \frac{2+\cos x}{2-\cos x} \mathrm{d} x > 0 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0.
$$

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