你会判断积分不等式的正负性吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

证明下面两个结论:

1.

02πsinxx dx>0

2.

02πcosxln(2+cosx)dx>0

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

01

由题可得:

02πsinxxdx=0πsinxxdx+π2πsinxxdx

令:

x=π+tx(π,2π)t(0,π).

于是:

π2πsinxxdx=0πsin(π+t)π+tdt

0πsintπ+tdt=0πsinxπ+xdx.

于是:

02πsinxxdx=0πsinxxdx0πsinxπ+xdx=

0π[sinxxsinxπ+x]dx=

0ππsinxx(π+x)x(0,π).

由于:

sinx>0,x>0,π+x>0

因此:

0ππsinxx(π+x)>0

即:

02πsinxx dx>0

02

根据《快速判断函数奇偶性的口诀》和《如何判断一个函数是否是周期函数以及其周期是多少》这两篇文章可知,cosxln(2+cosx) 是一个周期为 2π 的偶函数,于是:

02πcosxln(2+cosx)dx=

ππcosxln(2+cosx)dx=

20πcosxln(2+cosx)dx=

2[0π2cosxln(2+cosx)dx+

π2πcosxln(2+cosx)dx].

令:

t=πxx(π2,π)t(π2,0).

于是:

π2πcosxln(2+cosx)dx=

π20costln(2cost)(1)dt=

π20cosxln(2cosx)dx=

02πcosxln(2+cosx)dx.

进而:

2[0π2cosxln(2+cosx)dx+

π20cosxln(2cosx)dx]=

20π2[cosxln(2+cosx)cosxln(2cosx)]dx=

20π2cosx[ln(2+cosx)ln(2cosx)]dx=

20π2cosxln2+cosx2cosxdx.

又:

2+cosx2cosx>1ln2+cosx2cosx>0

20π2cosxln2+cosx2cosxdx>0

02πcosxln(2+cosx)dx>0.


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