“秩”小于“阶”，则行列式的值等于零

一、题目

若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & a & 10\end{array}\right]$, 且秩 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & a & 10\end{array}\right| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & a-1 & 10\end{array}\right|= 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{cc}1 & 5 \\ a-1 & 10\end{array}\right|=10-5(a-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
10-5 a+5=0 \Rightarrow
$$

$$
15-5 a=0 \Rightarrow a=3.
$$

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