使用二重积分的积分区域对称性和被积函数奇偶性快速解题

一、题目

已知 $D$ 是 $xOy$ 平面上以 $(1,1)(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_1$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 ${\iint }_D(xy+\cos x\sin y)\mathrm{d}\sigma$ 等于多少？

难度评级：

二、解析

首先，根据题目描述，我们可以绘制出积分区域 $D$ 的图形（如图 01 阴影区域）以及依据图中虚线和坐标轴划分出来的 $D_1$, $D_2$, $D_3$ 和 $D_4$ 四个子区域——其中，$D_1$ 和 $D_2$ 关于坐标轴 $Y$ 轴对称，$D_3$ 和 $D_4$ 关于坐标轴 $X$ 轴对称：

又由题知：

$${\iint }_D(xy+\cos x\sin y)\mathrm{d}\sigma =$$

$${\iint }_{D}xy\mathrm{d}\sigma +{\iint }_D\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma .$$

于是：

1. 由于被积函数 $xy$ 关于 $x$ 是奇函数，因此其在关于 $Y$ 轴对称的 $D_1$ 和 $D_2$ 区域上的积分的和为 $0$;
2. 由于被积函数 $xy$ 也是关于 $y$ 是奇函数，因此其在关于 $X$ 轴对称的 $D_3$ 和 $D_4$ 区域上的积分的和为 $0$;
3. 综上可知：${\iint }_{D}xy\mathrm{d}\sigma =0$

同样的：

1. 由于被积函数 $\cos x\sin y$ 关于 $y$ 是奇函数，因此其在关于 $X$ 轴对称的 $D_3$ 和 $D_4$ 区域上的积分的和为 $0$;
2. 由于被积函数 $\cos x\sin y$ 关于 $x$ 是偶函数，因此其在关于 $Y$ 轴对称的 $D_1$ 和 $D_2$ 区域上的积分的和为 ${\iint }_{D_1}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma$ $+$ ${\iint }_{D_2}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma$ $=$ $2{\iint }_{D_1}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma$

综上可知：

$${\iint }_D(xy+\cos x\sin y)\mathrm{d}\sigma =$$

$${\iint }_{D}xy\mathrm{d}\sigma +{\iint }_D\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma =$$

$$0+{\iint }_D\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma =$$

$${\iint }_{D_1}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{D_2}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma +$$

$${\iint }_{D_3}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{D_4}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma =$$

$$2{\iint }_{D_1}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma +0=2{\iint }_{D_1}\cos x\sin y\mathrm{d}\sigma .$$

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