使用二重积分的积分区域对称性和被积函数奇偶性快速解题

一、题目

已知 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1)(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于多少？

难度评级：

二、解析

首先，根据题目描述，我们可以绘制出积分区域 $D$ 的图形（如图 01 阴影区域）以及依据图中虚线和坐标轴划分出来的 $D_{1}$, $D_{2}$, $D_{3}$ 和 $D_{4}$ 四个子区域——其中，$D_{1}$ 和 $D_{2}$ 关于坐标轴 $Y$ 轴对称，$D_{3}$ 和 $D_{4}$ 关于坐标轴 $X$ 轴对称：

又由题知：

$$
\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma =
$$

$$
\iint_{D} x y \mathrm{d} \sigma + \iint_{D} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma.
$$

于是：

1. 由于被积函数 $xy$ 关于 $x$ 是奇函数，因此其在关于 $Y$ 轴对称的 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 区域上的积分的和为 $0$;
2. 由于被积函数 $xy$ 也是关于 $y$ 是奇函数，因此其在关于 $X$ 轴对称的 $D_{3}$ 和 $D_{4}$ 区域上的积分的和为 $0$;
3. 综上可知：$\iint_{D} x y \mathrm{d} \sigma = 0$

同样的：

1. 由于被积函数 $\cos x \sin y$ 关于 $y$ 是奇函数，因此其在关于 $X$ 轴对称的 $D_{3}$ 和 $D_{4}$ 区域上的积分的和为 $0$;
2. 由于被积函数 $\cos x \sin y$ 关于 $x$ 是偶函数，因此其在关于 $Y$ 轴对称的 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 区域上的积分的和为 $\iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma$ $+$ $\iint_{D_{2}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma$ $=$ $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma$

综上可知：

$$
\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma =
$$

$$
\iint_{D} x y \mathrm{d} \sigma + \iint_{D} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma =
$$

$$
0 + \iint_{D} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma =
$$

$$
\iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma + \iint_{D_{2}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma +
$$

$$
\iint_{D_{3}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma + \iint_{D_{4}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma =
$$

$$
2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma + 0 = 2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{d} \sigma.
$$

---