有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！

一、题目

$$I={\int }_{-1}^0\mathrm{d}x{\int }_{1-\sqrt{1-x^2}}^{-x}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{4-x^2-y^2}}=?$$

难度评级：

二、解析

由题可得：

$$I={\int }_{-1}^0\mathrm{d}x{\int }_{1-\sqrt{1-x^2}}^{-x}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{4-x^2-y^2}}=$$

$${\iint }_D\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{4-x^2-y^2}}\mathrm{d}y\Rightarrow$$

转为极坐标系下的形式：

$$\{\begin{array}{ll}& x=r\cos \theta ;\\ & y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow$$

$$I={\iint }_D\frac{r}{r\cdot \sqrt{4-r^2}}\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$I={\iint }_D\frac{1}{\sqrt{4-r^2}}\mathrm{d}r.$$

接下来，我们确定积分区域 $D$:

$$y=1-\sqrt{1-x^2}\Rightarrow \sqrt{1-x^2}=1-y\Rightarrow$$

$$1-x^2=1+y^2-2y\Rightarrow x^2+y^2-2y=0\Rightarrow$$

$$x^2+(y-1{)}^2=1.$$

根据上面的计算结果，我们可以绘制出如下积分区域 $D$:

接下来，用极坐标系的方程表示该积分区域：

$$x^2+y^2-2y=0\Rightarrow r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta -$$

$$2r\sin \theta =0\Rightarrow r^2-2r\sin \theta =0\Rightarrow r\ne 0$$

$$\Rightarrow r-2\sin \theta =0\Rightarrow r=2\sin \theta \Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& r\in (0,2\sin \theta );\\ & \theta \in (\frac{3}{4}\pi ,\pi )\end{array}\Rightarrow$$

$$I={\iint }_D\frac{1}{\sqrt{4-r^2}}\mathrm{d}r={\int }_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }\frac{1}{\sqrt{4-r^2}}\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }\frac{1}{2\sqrt{1-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2}}\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }2\cdot \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2}}\mathrm{d}\left(\frac{r}{2}\right)\Rightarrow$$

Tips:
关于上面这步计算计算过程有个“小坑”，可以查看这篇《避坑指南》获取更详细的解析。

$$I={\int }_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{n}{2}\right)}^2}}\mathrm{d}\left(\frac{r}{2}\right)\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }\left[{\arcsin \left(\frac{r}{2}\right)|}_0^{2\sin \theta }\right]\mathrm{d}\theta =$$

$$I={\int }_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }\arcsin (\sin \theta )\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

Tips:
在本题中，$\arcsin (\sin \theta )$ $\ne$ $\theta$, 具体原因可以查看《arcsin(sin x) 一定等于 x 吗？不一定哦！》这篇文章。

$$I=(\pi -\theta ){|}_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }=\pi \cdot \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2}{\theta }^2{|}_{\frac{3}{4}\pi }^{\pi }\Rightarrow$$

$$I=\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{1}{2}({\pi }^2-\frac{9}{16}{\pi }^2)=\frac{8{\pi }^2-7{\pi }^2}{32}=\frac{{\pi }^2}{32}.$$

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