利用现成的结论快速解题

一、题目

已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ ${\mathrm{e}}^x({\int }_0^{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t+a)$ $=$ $b$, 则

$$\{\begin{array}{ll}& a=?\\ & b=?\end{array}$$

难度评级：

二、解析

由《常用的反常积分结论之 e 积分》可知：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$$

于是：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x({\int }_0^{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t+a)=b\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x\cdot ({\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t+a)=b\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x\cdot (\frac{\sqrt{\pi }}{2}+a)=b.$$

由于：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x\to +\mathrm{\infty }$$

因此，若要使 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x\cdot (\frac{\sqrt{\pi }}{2}+a)$ 存在极限，则必须是 $\mathrm{\infty }\cdot 0$ 型极限，即：

$$\frac{\sqrt{\pi }}{2}+a=0\Rightarrow$$

$$a=–\frac{\sqrt{\pi }}{2}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x\cdot (\frac{\sqrt{\pi }}{2}+a)=b\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x\cdot 0=b\Rightarrow$$

$$b=0$$

综上可知：

$$\{\begin{array}{ll}& a=–\frac{\sqrt{\pi }}{2}\\ & b=0\end{array}$$

---