常用的反常积分结论之 e 积分

一、前言

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=?$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=?$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=?$$

Tips:

关于考研数学中涉及 $e^x$ 的一些计算技巧，可以查看《考研数学解题思路积累：和 $e^x$ 有关的那些式子》这篇文章。

二、正文

以下结论记住即可（有时候积分变量可能没有写成 $x$, 而是写成了 $t$, $k$ 等，但结论都是一样的）：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

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