定积分运算时的积分上下限：什么时候变？什么时候不变？

一、前言

在进行定积分运算时，积分上下限是我们需要着重关注的一个问题——什么时候需要变？什么时候不需要变？在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将带你一探究竟！

二、正文

注意：文末有一句话形式的总结，帮我我们快速判断积分上下限什么时候需要变，什么时候不需要变，认真看下去哦 ^_^

1. 如果只是“看作一个整体”，就不需要变积分上下限

例如：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos ^{3} \theta \mathrm{~ d} \theta=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5} \theta\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \mathrm{~ d} (\sin \theta)=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta\right) \mathrm{~ d} (\sin \theta) =
$$

将 $\sin \theta$ 看作一个整体进行积分，但最终赋值的时候仍然是对 $\theta$ 进行赋值，此时不需要改变积分上下限：

$$
\left.\left(\frac{1}{6} \sin ^{6} \theta-\frac{1}{8} \sin ^{8} \theta\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=
$$

$$
\frac{1}{6}(1-0)-\frac{1}{8}(1-0)=
$$

$$
\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.
$$

2. 如果进行了变量代换，原来的积分变量看不到了，就需要变积分上下限

例如：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos ^{3} \theta \mathrm{~ d} \theta=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5} \theta\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \mathrm{~ d} (\sin \theta)=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta\right) \mathrm{~ d} (\sin \theta).
$$

令 $t = \sin \theta$, 则：

$$
\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow \sin \theta \in (0, 1) \Rightarrow
$$

$$
t \in (0, 1).
$$

于是：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta\right) \mathrm{~ d} (\sin \theta) =
$$

$$
\int_{0}^{1}\left(t ^{5} – t ^{7} \right) \mathrm{~ d} t =
$$

$$
\frac{1}{6} t^{6} – \frac{1}{8} t^{8} \Big|_{0}^{1} =
$$

$$
\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.
$$

一句话总结

只要能看到原来的积分变量，就不需要改变积分上下限，不用管微分符号 “$\mathrm{d}$” 后面跟的还是不是原来的积分变量——

$\mathrm{d}$ 后面的跟的只是做积分运算时的最小“运算单位”，例如 $\mathrm{d} (\sin \theta)$ 表示我们只需要对 $\sin \theta$ 这个整体做运算就可以，不需要精确到 $\theta$, 但 $\mathrm{d} \theta$ 则要求我们将运算的“精度”精确到 $\theta$——

当然，如果不能看到原来的积分变量了，例如做了变量替换，这时候就需要确定并使用新的积分上下限。

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