定积分运算时的积分上下限：什么时候变？什么时候不变？

一、前言

在进行定积分运算时，积分上下限是我们需要着重关注的一个问题——什么时候需要变？什么时候不需要变？在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将带你一探究竟！

二、正文

注意：文末有一句话形式的总结，帮我我们快速判断积分上下限什么时候需要变，什么时候不需要变，认真看下去哦 ^_^

1. 如果只是“看作一个整体”，就不需要变积分上下限

例如：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta {\cos }^3\theta \mathrm{d}\theta =$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^5\theta (1-{\sin }^2\theta )\mathrm{d}(\sin \theta )=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^5\theta -{\sin }^7\theta )\mathrm{d}(\sin \theta )=$$

将 $\sin \theta$ 看作一个整体进行积分，但最终赋值的时候仍然是对 $\theta$ 进行赋值，此时不需要改变积分上下限：

$${(\frac{1}{6}{\sin }^6\theta -\frac{1}{8}{\sin }^8\theta )|}_0^{\frac{\pi }{2}}=$$

$$\frac{1}{6}(1-0)-\frac{1}{8}(1-0)=$$

$$\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.$$

2. 如果进行了变量代换，原来的积分变量看不到了，就需要变积分上下限

例如：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta {\cos }^3\theta \mathrm{d}\theta =$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^5\theta (1-{\sin }^2\theta )\mathrm{d}(\sin \theta )=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^5\theta -{\sin }^7\theta )\mathrm{d}(\sin \theta ).$$

令 $t=\sin \theta$, 则：

$$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow \sin \theta \in (0,1)\Rightarrow$$

$$t\in (0,1).$$

于是：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^5\theta -{\sin }^7\theta )\mathrm{d}(\sin \theta )=$$

$${\int }_0^1\left(t^5–t^7\right)\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{6}{t}^6–\frac{1}{8}{t}^8{|}_0^1=$$

$$\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.$$

一句话总结

只要能看到原来的积分变量，就不需要改变积分上下限，不用管微分符号 “$\mathrm{d}$” 后面跟的还是不是原来的积分变量——

$\mathrm{d}$ 后面的跟的只是做积分运算时的最小“运算单位”，例如 $\mathrm{d}(\sin \theta )$ 表示我们只需要对 $\sin \theta$ 这个整体做运算就可以，不需要精确到 $\theta$, 但 $\mathrm{d}\theta$ 则要求我们将运算的“精度”精确到 $\theta$——

当然，如果不能看到原来的积分变量了，例如做了变量替换，这时候就需要确定并使用新的积分上下限。

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