直角坐标系下一般方程转参数方程的通用方法

一、前言

本文通过一个具体的例子，解析了如何将直角坐标系下的一般方程转为参数方程——有些时候，通过参数方程进行计算更有利。

二、正文

例子：

将直角坐标系下的一般方程 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 转为参数方程。

过程如下：

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\Rightarrow$$

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}=1.$$

又：

$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

所以：

$$\{\begin{array}{ll}& {\cos }^2\theta =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}};\\ & {\sin }^2\theta =\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}.\end{array}$$

需要注意的是，在上面的式子组中，必须保证 $x$ 与 $\cos$ 对应，$y$ 与 $\sin$ 对应，具体原因见如下解析：

如图 01, $\mathrm{\angle }\theta =\mathrm{\angle }aoc$, 于是：

$$\cos \theta =\frac{\overline{oa}}{\overline{oc}}\Rightarrow \overline{oa}=\overline{oc}\cdot \cos \theta$$

$$\sin \theta =\frac{\overline{ac}}{\overline{oc}}\Rightarrow \overline{ac}=\overline{ob}=\overline{oc}\cdot \sin \theta$$

由上可知，$x$ 与 $\cos$ 对应，$y$ 与 $\sin$ 对应。

于是：

$$\{\begin{array}{ll}& {\cos }^2\theta =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}};\\ & {\sin }^2\theta =\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}.\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& \sqrt{x}=\sqrt{2}{\cos }^2\theta ;\\ & \sqrt{y}=\sqrt{2}{\sin }^2\theta .\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& x=2{\cos }^4\theta ;\\ & y=2{\sin }^4\theta .\end{array}$$

注意：

1. 上面的式子组中的任意一个式子（$\sqrt{x}$ $=$ $\sqrt{2}{\cos }^2\theta$ 或 $\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}{\sin }^2\theta$）都可以单独的表示原来的一般式；
2. 其中的参数 $\theta$ 的取值需要借助原来的一般式确定，同时 $\theta$ 取值的方向（例如是从 $0$ 到 $\frac{\pi }{2}$, 还是从 $\frac{\pi }{2}$ 到 $0$）这里是不需要考虑的，但在进行积分运算的时候需要考虑——同样，具体的取值方向，也需要根据一般式中的积分上下限和被积函数和确定。