一、前言 
本文通过一个具体的例子，解析了如何将直角坐标系下的一般方程转为参数方程——有些时候，通过参数方程进行计算更有利。
二、正文 
例子：
将直角坐标系下的一般方程 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 转为参数方程。
过程如下：
$$
\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} \Rightarrow
$$
$$
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}} = 1.
$$
又：
$$
\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta = 1
$$
所以：
$$
\begin{cases}
& \cos^{2} \theta = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}; \\
& \sin^{2} \theta = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}.
\end{cases}
$$
需要注意的是，在上面的式子组中，必须保证 $x$ 与 $\cos$ 对应，$y$ 与 $\sin$ 对应，具体原因见如下解析：
如图 01, $\angle \theta = \angle aoc$, 于是：
$$
\cos \theta = \frac{\overline{oa}}{\overline{oc}} \Rightarrow \overline{oa} = \overline{oc} \cdot \cos \theta
$$
$$
\sin \theta = \frac{\overline{ac}}{\overline{oc}} \Rightarrow \overline{ac} = \overline{ob} = \overline{oc} \cdot \sin \theta
$$
由上可知，$x$ 与 $\cos$ 对应，$y$ 与 $\sin$ 对应。
于是：
$$
\begin{cases}
& \cos^{2} \theta = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}; \\
& \sin^{2} \theta = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}.
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{cases}
& \sqrt{x} = \sqrt{2} \cos ^{2} \theta; \\
& \sqrt{y} = \sqrt{2} \sin ^{2} \theta.
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{cases}
& x = 2 \cos ^{4} \theta; \\
& y = 2 \sin ^{4} \theta.
\end{cases}
$$
注意：
- 上面的式子组中的任意一个式子（$\sqrt{x}$ $=$ $\sqrt{2} \cos ^{2} \theta$ 或 $\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2} \sin ^{2} \theta$）都可以单独的表示原来的一般式；
- 其中的参数 $\theta$ 的取值需要借助原来的一般式确定，同时 $\theta$ 取值的方向（例如是从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$, 还是从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $0$）这里是不需要考虑的，但在进行积分运算的时候需要考虑——同样，具体的取值方向，也需要根据一般式中的积分上下限和被积函数和确定。