当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？

一、题目

已知 $b>0$ 为常数, $\phi (x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{b}}\mathrm{d}t$, 并且 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi }}{2}$, 则 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}[1-\phi (x)]\mathrm{d}x=?$

难度评级：

二、解析

首先，为了将 $\phi (x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{b}}\mathrm{d}t$ 凑成题目已知条件 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ 的形式（且 $b>0$），我们可以令 $k=\frac{t}{\sqrt{b}}$, 于是：

$$t=\sqrt{b}k\Rightarrow k^2=\frac{t^2}{b}\Rightarrow$$

$$t\in (0,x)\Rightarrow k\in (0,\frac{x}{\sqrt{b}})\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}t=\sqrt{b}\mathrm{d}k$$

于是：

$$\phi (x)=\frac{2}{\sqrt{\pi b}}{\int }_0^x{e}^{-\frac{t^2}{b}}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\phi (x)=\frac{2}{\sqrt{\pi b}}\cdot \sqrt{b}{\int }_0^{\frac{x}{\sqrt{b}}}{e}^{-k^2}\mathrm{d}k\Rightarrow$$

$$\phi (x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\frac{x}{\sqrt{b}}}{e}^{-k^2}\mathrm{d}k.$$

进而，为了出现无穷限反常积分，有：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi (x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-k^2}\mathrm{d}k=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}=1.$$

于是：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}[1-\phi (x)]\mathrm{d}x=$$

$${x[1-\phi (x)]|}_0^{+\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x\mathrm{d}[1-\phi (x)].$$

又：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x[1-\phi (x)]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\phi (x)}{\frac{1}{x}}\Rightarrow$$

$\frac{0}{0}$ 型极限 $\Rightarrow$ 洛必达法则 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-{\phi }^{\prime }(x)}{\frac{-x^2}{b}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\frac{2}{\sqrt{\pi b}}{e}^{\frac{-x^2}{b}}}{\frac{-1}{x^2}}=$$

$$\frac{2}{\sqrt{\pi b}}{x}^2{e}^{\frac{-x^2}{b}}=\frac{2}{\sqrt{\pi b}}\frac{e^{\frac{-x^2}{b}}}{x^{-2}}=\frac{2}{\sqrt{\pi b}}\cdot 0=0$$

注意：关于为什么 “$\frac{e^{\frac{-x^2}{b}}}{x^{-2}}$ $=$ $0$”, 可以参考《一个常用的无穷大量的比较公式》这篇文章。

因此：

$${x[1-\phi (x)]|}_0^{+\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x\mathrm{d}[1-\phi (x)]=$$

注意：$\mathrm{d}[1-\phi (x)]$ $=$ $-{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

$$(0-0)+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi b}}{e}^{\frac{-x^2}{b}}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{2}{\sqrt{\pi b}}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x{e}^{\frac{-x^2}{b}}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{2}{\sqrt{\pi b}}\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{-x^2}{b}}\mathrm{d}\left(x^2\right)\Rightarrow$$

令 $x=x^2$ $\Rightarrow$

$$\frac{1}{\sqrt{\pi b}}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{-x}{b}}\mathrm{d}x=$$

$${\frac{1}{\sqrt{\pi b}}\cdot \frac{-b}{1}\cdot e^{\frac{-x}{b}}|}_0^{+\mathrm{\infty }}=$$

$$\frac{-b}{\sqrt{\pi b}}(0-1)=\frac{(\sqrt{b}{)}^2}{\sqrt{\pi }\cdot \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{\pi }}=\sqrt{\frac{b}{\pi }}.$$

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