当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 b>0 为常数, φ(x) = 2πb0xet2b dt, 并且 0+et2 dt = π2, 则 0+[1φ(x)]dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,为了将 φ(x) = 2πb0xet2b dt 凑成题目已知条件 0+et2 dt = π2 的形式(且 b>0),我们可以令 k=tb, 于是:

t=bkk2=t2b

t(0,x)k(0,xb)

 dt=b dk

于是:

φ(x)=2πb0xet2b dt

φ(x)=2πbb0xbek2 dk

φ(x)=2π0xbek2 dk.

进而,为了出现无穷限反常积分,有:

limx+φ(x)=2π0+ek2 dk=2ππ2=1.

于是:

0+[1φ(x)] dx=

x[1φ(x)]|0+0+x d[1φ(x)].

又:

limx+x[1φ(x)]=limx+1φ(x)1x

00 型极限 洛必达法则

limx+φ(x)x2b=limx+2πbex2b1x2=

2πbx2ex2b=2πbex2bx2=2πb0=0

注意:关于为什么 “ex2bx2 = 0”, 可以参考《一个常用的无穷大量的比较公式》这篇文章。

因此:

x[1φ(x)]|0+0+x d[1φ(x)]=

注意: d[1φ(x)] = φ(x) dx.

(00)+0+x2πbex2b dx=

2πb0+xex2b dx=

2πb120+ex2b d(x2)

x=x2

1πb0+exb dx=

1πbb1exb|0+=

bπb(01)=(b)2πb=bπ=bπ.


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