被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则：

当 $0<x<1$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何？

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二、解析

解法 1：找一个满足题设条件的特例

根据题目描述，若令 $f(x)$ $=$ $- x^{2}$, 则可以满足题目所给条件。

于是：

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t =
$$

$$
(-1) \int_{0}^{x} x^{2} \mathrm{d} t = – \frac{1}{3}x^{3}.
$$

接着：

$$
\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t =
$$

$$
– \textcolor{orange}{x} \int_{0}^{1} \textcolor{red}{ x^{2} } \mathrm{d} t =
$$

注意：上式中的 $\textcolor{orange}{x}$ 是被看作常数的，并且一直都要当成常数处理，而 $\textcolor{red}{ x^{2} }$ 虽然也是用 $x$ 表示的，但却是由积分变量 $t$ 变过来的，因此，不能被当作常数处理。

$$
– \textcolor{orange}{x} \Big( \frac{1}{3} \textcolor{red}{x^{3} } \Big|_{0}^{1} \Big) = – \frac{1}{3} \textcolor{orange}{x}.
$$

由于当 $x \in (0, 1)$ 时，次幂越高，值越小，即：

$$
x^{3} < x
$$

于是：

$$
– \frac{1}{3}x^{3} > – \frac{1}{3} x \Rightarrow
$$

注意：越大的正数，加上负号之后就会变得越小。

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t > \int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t.
$$

解法 2：罗尔定理

令：

$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t – x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t
$$

则：

$$
F^{\prime}(x) = f(x) – \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime \prime} (x) = f^{\prime}(x) < 0
$$

于是可知，$F^{\prime}(x)$ 单调递减。

又：

$$
F(0) = \int_{0}^{0} f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{1} 0 \cdot f(t) \mathrm{d} t = 0
$$

$$
F(1) = \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{1} 1 \cdot f(t) \mathrm{d} t = 0
$$

所以，由罗尔定理可知，一定存在 $\xi \in (0, 1)$, 使得下式成立：

$$
F^{\prime}(\xi) = 0
$$

再结合前面 $F^{\prime}(x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减的结论，可知：

$$
\begin{cases}
& F^{\prime}(x) > 0, \quad x \in (0, \xi); \\
& F^{\prime}(x) = 0, \quad x = \xi; \\
& F^{\prime}(x) < 0, \quad x \in(\xi, 1);
\end{cases}
$$

进而可知，函数 $F(x)$ 的图象在 $(0, \xi)$ 区间上单调递增，在 $(\xi, 1)$ 区间上单调递减，且在 $x = \xi$ 处取得最大值，即：

当 $x \in (0, \xi)$ 时，$F(x) > F(0) = 0$;

当 $x \in (\xi, 1)$ 时，$F(x) > F(1) = 0$.

综上可知，当 $x \in (0, 1)$ 时：

$$
F(x) > 0 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t > 0 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t > \int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t.
$$

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