被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime }(x)<0$ 其中 $x\in (0,1)$, 则：

当 $0<x<1$ 时，${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 与 ${\int }_0^{1}xf(t)\mathrm{d}t$ 之间的大小关系如何？

难度评级：

二、解析

解法 1：找一个满足题设条件的特例

根据题目描述，若令 $f(x)$ $=$ $-x^2$, 则可以满足题目所给条件。

于是：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=$$

$$(-1){\int }_0^x{x}^2\mathrm{d}t=–\frac{1}{3}{x}^3.$$

接着：

$${\int }_0^{1}xf(t)\mathrm{d}t=$$

$$–x{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}t=$$

注意：上式中的 $x$ 是被看作常数的，并且一直都要当成常数处理，而 $x^2$ 虽然也是用 $x$ 表示的，但却是由积分变量 $t$ 变过来的，因此，不能被当作常数处理。

$$–x(\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1)=–\frac{1}{3}x.$$

由于当 $x\in (0,1)$ 时，次幂越高，值越小，即：

$$x^3<x$$

于是：

$$–\frac{1}{3}{x}^3>–\frac{1}{3}x\Rightarrow$$

注意：越大的正数，加上负号之后就会变得越小。

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t>{\int }_0^{1}xf(t)\mathrm{d}t.$$

解法 2：罗尔定理

令：

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t–{\int }_0^{1}xf(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t–x{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t$$

则：

$$F^{\prime }(x)=f(x)–{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)<0$$

于是可知，$F^{\prime }(x)$ 单调递减。

又：

$$F(0)={\int }_0^{0}f(t)\mathrm{d}t–{\int }_0^{1}0\cdot f(t)\mathrm{d}t=0$$

$$F(1)={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t–{\int }_0^{1}1\cdot f(t)\mathrm{d}t=0$$

所以，由罗尔定理可知，一定存在 $\xi \in (0,1)$, 使得下式成立：

$$F^{\prime }(\xi )=0$$

再结合前面 $F^{\prime }(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减的结论，可知：

$$\{\begin{array}{ll}& F^{\prime }(x)>0,x\in (0,\xi );\\ & F^{\prime }(x)=0,x=\xi ;\\ & F^{\prime }(x)<0,x\in (\xi ,1);\end{array}$$

进而可知，函数 $F(x)$ 的图象在 $(0,\xi )$ 区间上单调递增，在 $(\xi ,1)$ 区间上单调递减，且在 $x=\xi$ 处取得最大值，即：

当 $x\in (0,\xi )$ 时，$F(x)>F(0)=0$;

当 $x\in (\xi ,1)$ 时，$F(x)>F(1)=0$.

综上可知，当 $x\in (0,1)$ 时：

$$F(x)>0\Rightarrow$$

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t–{\int }_0^{1}xf(t)\mathrm{d}t>0\Rightarrow$$

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t>{\int }_0^{1}xf(t)\mathrm{d}t.$$

---