一道没用上变限积分性质的变限积分题目:应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

f(x)=0x(ecostecost)dt.

f(x)f(x+2π) 之间是什么关系?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

一旦题目中问我们两个式子之间的关系,特别是当这两个式子还比较相似的时候,最常用的做法就是直接对这两个式子进行加减乘除的四则运算,通过运算得到的结果,对其关系进行判断。因此:

f(x+2π)f(x)

0x+2π(ecostecost) dt0x(ecostecost) dt

根据积分加减运算中积分上下限的运算规律,可得:

xx+2π(ecostecost) dt.

又由《如何判断一个包含常见周期函数的函数是不是周期函数》这篇文章可知,被积函数 ecostecost 是一个周期函数,且由于 ecostecost 的周期都是 2π, 2π2π=1, 因此,ecostecost 的周期也是 2π.

接着,通过下面的计算过程可知,ecostecost 还是一个偶函数:

ecostecostecos(t)ecos(t)

ecostecost=(ecostecost).

于是,根据周期函数定积分的性质——无论积分上下限是多少,只要积分上限减去积分下限是被积函数的一个最小正周期,那么,这些定积分就是相等的:

f(x+2π)f(x)=

ππ(ecostecost) dt=

20π(ecostecost) dt

t=πuu=πtu(π,0)

f(x+2π)f(x)=

2π0(ecos(πu)ecos(πu)) du

积变偶不变(kπ2):

20π(ecosuecosu) du

u=t

20π(ecostecost) dt.

综上:

f(x+2π)f(x)=

20π(ecostecost) dt=20π(ecostecost) dt

f(x+2π)f(x)=0

f(x+2π)=f(x).


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