一、题目
已知：
$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$
则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系？
难度评级：
二、解析 
一旦题目中问我们两个式子之间的关系，特别是当这两个式子还比较相似的时候，最常用的做法就是直接对这两个式子进行加减乘除的四则运算，通过运算得到的结果，对其关系进行判断。因此：
$$
f(x+2 \pi)-f(x) \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{x+2 \pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t-\int_{0}^{x}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
根据积分加减运算中积分上下限的运算规律，可得：
$$
\int_{x}^{x+2 \pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t.
$$
又由《如何判断一个包含常见周期函数的函数是不是周期函数》这篇文章可知，被积函数 $e^{\cos t}-e^{-\cos t}$ 是一个周期函数，且由于 $e^{\cos t}$ 和 $e^{-\cos t}$ 的周期都是 $2 \pi$, $\frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$, 因此，$e^{\cos t}-e^{-\cos t}$ 的周期也是 $2 \pi$.
接着，通过下面的计算过程可知，$e^{\cos t}-e^{-\cos t}$ 还是一个偶函数：
$$
e^{\cos t}-e^{-\cos t} \Rightarrow e^{\cos (-t)}-e^{-\cos (-t)} \Rightarrow
$$
$$
e^{-\cos t}-e^{\cos t}=-\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right).
$$
于是，根据周期函数定积分的性质——无论积分上下限是多少，只要积分上限减去积分下限是被积函数的一个最小正周期，那么，这些定积分就是相等的：
$$
f(x+2 \pi)-f(x)=
$$
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t=
$$
$$
2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
t=\pi-u \Rightarrow u=\pi-t \Rightarrow u \in(\pi, 0) \Rightarrow
$$
$$
f(x+2 \pi)-f(x)=
$$
$$
-2 \int_{\pi}^{0}\left(e^{\cos (\pi-u)}-e^{-\cos (\pi-u)}\right) \mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$
积变偶不变（$k \cdot \frac{\pi}{2}$）：
$$
2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{-\cos u}-e^{\cos u}\right) \mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$
$$
u=t \Rightarrow
$$
$$
-2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t .
$$
综上：
$$
f(x+2 \pi)-f(x)=
$$
$$
2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t = -2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
f(x+2 \pi)-f(x)=0 \Rightarrow
$$
$$
f(x+2 \pi)=f(x).
$$
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