解题不一定要单打独斗：单式问题变双式问题

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)\cos x\mathrm{d}x=A$, 则 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)x\sin x\mathrm{d}x=?$

$$(A)0$$

$$(B)A$$

$$(C)-A$$

$$(D)2A$$

难度评级：

二、解析

既然所给的选项全都可以 $A$ 有关系，${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)\cos x\mathrm{d}x=A$ 也和 $A$ 有关系，因此，${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)\cos x\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)x\sin x\mathrm{d}x$ 结合的式子也一定和 $A$ 有关系，于是，可以将这两个式子放一块进行计算。

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)\cos x\mathrm{d}x-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)x\sin x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)[\cos x-x\sin x]\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$(x\cos x{)}^{\prime }=\cos x-x\sin x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)\mathrm{d}(x\cos x)\Rightarrow$$

注意：上面的式子只是做了凑微分，并没有进行变量替换，因此，积分上下限不用改变。

若 $F^{\prime }(u)=f(u)$

$$F(x\cos x){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=F(\frac{\pi }{2}\cdot 0)-F(0\cdot 1)\Rightarrow$$

$$F(0)-F(0)=0$$

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