求解三角函数问题时不要忘记利用其周期性

一、题目

$$
I = \int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{d} \theta = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
I=\int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi}\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \cos ^{5} \theta d \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \cos ^{5} \theta-\int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \cos ^{7} \theta d \theta \Rightarrow
$$

根据三角函数 $\cos \theta$ 的周期性 $\Rightarrow$

$$
I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{5} \theta+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{7} \theta d \theta \Rightarrow
$$

$$
I=-\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1+\frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \Rightarrow
$$

$$
I=\left(\frac{6}{7}-\frac{7}{7}\right) \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{-1}{7} \cdot \frac{8}{15}=\frac{-8}{105}.
$$

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