二元函数非条件极值判断的一道概念题

一、题目

判断函数 $f(x,y)$ $=$ $k{x}^2+y^3-3y$ 在点 $(0,1)$ 处的极值情况。

难度评级：

二、解析

$$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }=2kx\\ f_y^{\prime }=3y^2-3\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}A=f_{xx}^{\prime \prime }=2k\\ B=f_{xy}^{\prime \prime }=0\\ C=f_{yy}^{\prime \prime }=6y\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}A=2k\\ B=0\\ C=6\end{array}\Rightarrow AC-B^2=12k.$$

于是：

• 当 $k>0$ 的时候，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,1)$ 处有极值，且为极小值；
• 当 $k<0$ 的时候，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,1)$ 处没有极值；
• 当 $k=0$ 的时候，无法判断函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,1)$ 处有无极值。

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