一、题目
判断函数 $f(x, y)$ $=$ $k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处的极值情况。
难度评级：
二、解析 
$$
\left\{\begin{array}{l}f_{x}^{\prime}=2 k x \\ f_{y}^{\prime}=3 y^{2}-3\end{array} \Rightarrow\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}A=f_{x x}^{\prime \prime}=2 k \\ B=f_{x y}^{\prime \prime}=0 \\ C=f_{y y}^{\prime \prime}=6 y\end{array} \Rightarrow \right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=1\end{array} \Rightarrow\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}A=2 k \\ B=0 \\ C=6\end{array} \Rightarrow A C-B^{2}=12 k .\right.
$$
于是：
- 当 $k > 0$ 的时候，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 1)$ 处有极值，且为极小值；
- 当 $k < 0$ 的时候，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 1)$ 处没有极值；
- 当 $k = 0$ 的时候，无法判断函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 1)$ 处有无极值。
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