解三角函数定积分时经常会用到分部积分法:在 sin 与 cos 之间转换 一、题目 已知积分区域 D 由 y=x 与 y2=x 围成,则: ∬Dsinπyy dσ=? 难度评级: 二、解析 首先,根据题目信息,可以绘制出如下积分区域(阴影部分): 图 01. 先对 y 积分后对 x 积分太困难: ∫01 dx∫xxsinπyy dy⇒ 因此,交换机分次序: ∫01sinπyy dy∫y2y1 dx⇒ ∫01sinπyy(y−y2) dy⇒ ∫01(1−y)sinπy dy⇒ −1π∫01(1−y)d(cosπy)⇒ −1π[(1−y)cosπy|01−∫01cosπyd(1−y)]⇒ −1π[−1+∫01cosπy dy]⇒ −1π[−1+1πsinπy|01]⇒ −1π[−1+1π(sinπ−sin0)]⇒ −1π×(−1)=1π 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 加加减减,凑凑拆拆:∫ sinxsinx+cosx dx 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 三角函数 sin 与 cos 有理式积分的一般解题思路 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 解决三角函数定积分的组合拳:区间再现与点火公式 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:∫ cos2xcos2x(1+sin2x) dx “区间再现”之于定积分,就如同“洛必达”之于极限:适用性很强! 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 遇到三角函数有理式,就用三角函数凑微分:∫ sin2xsin2x2+cos4x dx 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:∫ cos2xsinxsin2x dx 用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目 求解 sin 与 cos 线性组合分式积分的通用解法 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 复合函数求偏导:循环复用,逐渐化简 2013年考研数二第15题解析:等价无穷小 消根号的思路之“次幂归一”法 计算定积分 ∫0π x f(sinx) dx 2011年考研数二第06题解析 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 2016年考研数二第15题解析:无穷小、e 抬起、两个重要无穷小 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 两种方法计算:limx→∞ ( sin2x + cos1x )x [高数]有关变限积分求导的几种形式