使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题

一、题目

$I =$

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} e^{- y^{2}} d y \int_{0}^{y} e^{- x^{2}} d x + \int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} e^{- y^{2}} d y \int_{0}^{\sqrt{R^{2} - y^{2}}} e^{- x^{2}} d x = ?$

难度评级：

二、解析

由题知：

$y \in (0, \frac{\sqrt{2}}{2} R) \Rightarrow x = y$

$y \in (\frac{\sqrt{2}}{2} R, R) \Rightarrow x = \sqrt{R^{2} - y^{2}} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = R^{2}$

于是，我们可以绘制出该二重积分的积分区域：

又：

$e^{- x^{2}} \times e^{- y^{2}} \Rightarrow e^{- (x^{2} + y^{2})} \Rightarrow$

${\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{cases} \Rightarrow e^{- (x^{2} + y^{2})} = e^{- r^{2}}$

于是：

$I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{R} e^{- r^{2}} \cdot r d r \Rightarrow$

$I = θ |_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \times \int_{0}^{R} e^{- r^{2}} \cdot r d r \Rightarrow$

$I = \frac{π}{4} \int_{0}^{R} e^{- r^{2}} \cdot r d r \Rightarrow$

又：

${(e^{- r^{2}})}_{r}^{'} = - 2 r e^{- r^{2}} \Rightarrow$

$I = \frac{π}{4} \times \frac{- 1}{2} \times {e^{- r^{2}} |}_{0}^{R} = \frac{- π}{8} (e^{- R^{2}} - 1) \Rightarrow$

$I = \frac{π}{8} (1 - e^{- R^{2}}) .$

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二、解析

高等数学

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特别专题

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