被根号隐藏的变限积分

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

z=01|xyt|f(t) dt

且:

0x1

0y1

其中 f(x) 为连续函数。

则:

zxx+zyy=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

0x1,0y1

0xy1

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

于是:

z=01|xyt|f(t)dt

z=0xy(xyt)f(t)dt+xy1(txy)f(t)dt

积分上下限就是被积变量 t 的取值范围。

z=0xy(xyt)f(t)dt+1xy(xyt)f(t)dt

z=xy0xyf(t)dt0xytf(t)dt+

xy1xyf(t)dt1xytf(t)dt.

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

进而:

zx=y0xyf(t)dt+xy2f(xy)xy2f(xy)+

y1xyf(t)dt+xy2f(xy)xy2f(xy)

zx=y0xyf(t)dt+y1xyf(t)dt

zxx=y2f(xy)+y2f(xy)=2y2f(xy).

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

又由于,在函数 z 中,对调 xy 后得到的函数仍然是 z, 因此,在函数 z 中,xy 具有对称性,因此,由对称性可得:

zyy=2x2f(xy).

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

综上可得:

zxx+zyy=2(x2+y2)f(xy)


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress