被根号隐藏的变限积分

一、题目

已知：

$z = \int_{0}^{1} | x y - t | f (t) d t$

且：

$0 ⩽ x ⩽ 1$

$0 ⩽ y ⩽ 1$

其中 $f (x)$ 为连续函数。

则：

$z_{x x}^{''} + z_{y y}^{''} = ?$

难度评级：

$0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1 \Rightarrow$

$0 ⩽ x y \leq 1$

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于是：

$z = \int_{0}^{1} | x y - t | f (t) d t \Rightarrow$

$z = \int_{0}^{x y} (x y - t) f (t) d t + \int_{x y}^{1} (t - x y) f (t) d t \Rightarrow$

积分上下限就是被积变量 $t$ 的取值范围。

$z = \int_{0}^{x y} (x y - t) f (t) d t + \int_{1}^{x y} (x y - t) f (t) d t \Rightarrow$

$z = x y \int_{0}^{x y} f (t) d t - \int_{0}^{x y} t f (t) d t +$

$x y \int_{1}^{x y} f (t) d t - \int_{1}^{x y} t f (t) d t .$

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进而：

$z_{x}^{'} = y \int_{0}^{x y} f (t) d t + x y^{2} f (x y) - x y^{2} f (x y) +$

$y \int_{1}^{x y} f (t) d t + x y^{2} f (x y) - x y^{2} f (x y) \Rightarrow$

$z_{x}^{'} = y \int_{0}^{x y} f (t) d t + y \int_{1}^{x y} f (t) d t \Rightarrow$

$z_{x x}^{''} = y^{2} f (x y) + y^{2} f (x y) = 2 y^{2} f (x y) .$

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又由于，在函数 $z$ 中，对调 $x$ 与 $y$ 后得到的函数仍然是 $z$ , 因此，在函数 $z$ 中， $x$ 与 $y$ 具有对称性，因此，由对称性可得：

$z_{y y}^{''} = 2 x^{2} f (x y) .$

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综上可得：

$z_{x x}^{''} + z_{y y}^{''} = 2 (x^{2} + y^{2}) f (x y)$

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