求解带有 $\ln$ 的题目时一定不要忘记可以化“乘除”为“加减”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1–2x}{1+3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

若要查看本题的另一种解法，可以点击这里。

求解这类含有 $\ln$ 函数的题目时，一定不要忘记可以使用如下公式，使得式子可以在“乘除”和“加减”之间转换：

$$\ln \frac{M}{N}\rightleftarrows \ln M–\ln N$$

$$\ln MN\rightleftarrows \ln M+\ln N$$

Next

于是：

$$\ln \frac{1–2x}{1+3x}=$$

$$\ln (1–2x)–\ln (1+3x).$$

Next

进而：

$$(\ln \frac{1–2x}{1+3x}{)}^{\prime }=$$

$$[\ln (1–2x)–\ln (1+3x){]}^{\prime }=$$

$$\frac{-2}{1-2x}–\frac{3}{1+3x}.$$

Next

继续：

$$(\ln \frac{1–2x}{1+3x}{)}^{\prime \prime }=$$

$$[\frac{-2}{1-2x}–\frac{3}{1+3x}{]}^{\prime }=$$

$$\frac{-2\cdot (-2)}{(1-2x{)}^2}–\frac{3\cdot 3}{(1+3x{)}^2}=$$

$$\frac{4}{(1-2x{)}^2}–\frac{9}{(1+3x{)}^2}.$$

Next

继续：

$$(\ln \frac{1–2x}{1+3x}{)}^{\prime \prime \prime }=$$

$$[\frac{4}{(1-2x{)}^2}–\frac{9}{(1+3x{)}^2}{]}^{\prime }=$$

计算 $[(1–2x{)}^2{]}^{\prime }$ 时，直接按照复合函数的求导法则计算即可，不要先将 $(1–2x{)}^2$ 展开再求导。

$$\frac{4\cdot 2\cdot (-2)}{(1-2x{)}^4}–\frac{9\cdot 2\cdot 3}{(1+3x{)}^4}.$$

Next

即：

$$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{4\cdot 2\cdot (-2)}{(1-2x{)}^4}–\frac{9\cdot 2\cdot 3}{(1+3x{)}^4}.$$

Next

于是，当 $x=0$ 时：

$$f^{\prime \prime \prime }(0)=\frac{4\cdot 2\cdot (-2)}{(1{)}^4}–\frac{9\cdot 2\cdot 3}{(1{)}^4}\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime \prime }(0)=-16–54=–(16+54)=-70.$$

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