要求解三次及以上导数时可以尝试使用泰勒公式

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1–2x}{1+3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

若要查看本题的另一种解法，可以点击这里。

1. 由于泰勒公式中包含多次导数运算，因此，当题目要求解导函数在某一点处的值的时候，就可以尝试使用泰勒公式。
2. 有关泰勒公式的相关基础知识，可以查看《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》或《泰勒公式 | 考研数学公式学习系统》

已知：

$$f(x)=\ln \frac{1–2x}{1+3x}\Rightarrow$$

$$f(x)=\ln (1–2x)–\ln (1+3x)$$

Next

又根据泰勒公式，当 $x\to 0$ 时，有：

$x\to 0$ 时的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。

$$f(x)=$$

$$\frac{f(0)}{0!}\cdot x^0+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}\cdot x^1+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}\cdot x^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}\cdot x^3+\cdots \Rightarrow$$

Next

进而：

$$f(x)=$$

$$f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}\cdot x^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}\cdot x^3+\cdots \Rightarrow$$

Next

又因为：

$$f(0)=\ln (1–0)–\ln (1+0)=0$$

因此：

$$f(x)=f^{\prime }(0)\cdot x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}\cdot x^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}\cdot x^3+\cdots .\mathrm{①}$$

Next

于是可以知道，只要我们对函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处进行泰勒展开，然后找出与 $\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}\cdot x^3$ 对应的部分，即可解出 $f^{\prime \prime \prime }(0)$.

Next

又有麦克劳林公式：

$$\ln (1+t)=t–\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{3}{t}^3+\cdots$$

于是，当 $t=-2x$ 时，有：

$$\ln (1–2x)=-2x–\frac{1}{2}(-2x{)}^2+\frac{1}{3}(-2x{)}^3+\cdots$$

于是，当 $t=3x$ 时，有：

$$\ln (1+3x)=3x–\frac{1}{2}(3x{)}^2+\frac{1}{3}(3x{)}^3+\cdots$$

Next

即：

$$f(x)=\ln (1–2x)–\ln (1+3x)\Rightarrow$$

$$f(x)=$$

$$-2x–\frac{1}{2}(-2x{)}^2+\frac{1}{3}(-2x{)}^3–3x+\frac{1}{2}(3x{)}^2–\frac{1}{3}(3x{)}^3+\cdots \mathrm{②}$$

Next

对比 $\mathrm{①}$ 式和 $\mathrm{②}$ 式可得：

$$\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}\cdot x^3=\frac{1}{3}(-2x{)}^3–\frac{1}{3}(3x{)}^3\Rightarrow$$

$$\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}=\frac{1}{3}(-2{)}^3–\frac{1}{3}(3{)}^3\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime \prime }(0)=2(-2{)}^3–2(3{)}^3=–16–54=-70.$$

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