求导会降阶，积分会升阶

一、前言

本文通过举例的方式讨论了如下结论：

求导会降阶，积分会升阶。

二、正文

我们知道：

$$(x^2{)}^{\prime }=2x;$$

$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}{x}^3+C.$$

通过上面的计算，我们就证明了本文前言中所说的“求导会降阶，积分会升阶”这一结论。

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下面，我们通过一个例题继续巩固一下对这个结论的理解。

例题 1：若函数 $f(x)$ 连续，且当 $x\to a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x\to a$ 时，${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是 $x-a$ 的多少阶无穷小？

解析 1：由于 $[{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$ $=$ $f(x)$, 因此，$[{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$ 是 $x–a$ 的 $n$ 阶无穷小，根据“求导会降阶，积分会升阶”的原理可知：${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小。

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