求解方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $2y^{\prime }$ $=$ $x{\mathrm{e}}^{2x}$ 特解的形式

一、题目

方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $2y^{\prime }$ $=$ $x{\mathrm{e}}^{2x}$ 特解的形式是（ ）

难度评级：

本题所用到的知识可以参考：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》

二、解析

根据方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $2y^{\prime }$ $=$ $x{\mathrm{e}}^{2x}$, 我们可以设出其特解的形式为：

$$y^{\ast }=x^k(Ax+B)e^{2x}$$

也可以计算得出该方程对应的特征方程的根：

$${\lambda }^2–2\lambda =0\Rightarrow$$

$$\lambda (\lambda –2)=0\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_1=0\\ {\lambda }_2=2\end{array}$$

于是，由于 $e^{2x}$ 中的 “$2$” 是特征方程的单特征根，因此，所设特解 $y^{\ast }$ $=$ $x^k(Ax+B)e^{2x}$ 中的 $k$ $=$ $1$.

于是，该方程的特解为：

$$y^{\ast }=x(Ax+B)e^{2x}$$

其中，$A$ 和 $B$ 为常数。

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