求解方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式

一、题目

方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式是（ ）

难度评级：

本题所用到的知识可以参考：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》

二、解析

根据方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$, 我们可以设出其特解的形式为：

$$
y^{*} = x^{k}(Ax + B)e^{2x}
$$

也可以计算得出该方程对应的特征方程的根：

$$
\lambda^{2} – 2 \lambda = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda(\lambda – 2) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
\lambda_{1} = 0 \\
\lambda_{2} = 2
\end{matrix}\right.
$$

于是，由于 $e^{2x}$ 中的 “$2$” 是特征方程的单特征根，因此，所设特解 $y^{*}$ $=$ $x^{k}(Ax + B)e^{2x}$ 中的 $k$ $=$ $1$.

于是，该方程的特解为：

$$
y^{*} = x(Ax + B)e^{2x}
$$

其中，$A$ 和 $B$ 为常数。

---