求解具有特解 $y_1$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_2$ $=$ $2x$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_3$ $=$ $3{\mathrm{e}}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程

一、题目

具有特解 $y_1$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_2$ $=$ $2x$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_3$ $=$ $3{\mathrm{e}}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程为（ ）

二、解析

根据线性微分方程的解与特征方程和特征根三者之间的关系，由特解 $y_1$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_2$ $=$ $2x$ ${\mathrm{e}}^{-x}$, $y_3$ $=$ $3{\mathrm{e}}^x$, 我们可以得知，该三阶常系数线性齐次方程具有以下特征根：

$$\{\begin{array}{cc}{\lambda }_1=-1& \\ {\lambda }_2=-1& \\ {\lambda }_3=1& \end{array}$$

Next

进而我们可以得出如下特征方程：

$$(\lambda +1{)}^2(\lambda –1)=0\Rightarrow$$

$$({\lambda }^2+1+2\lambda )(\lambda –1)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^3–{\lambda }^2+\lambda –1+2{\lambda }^2–2\lambda =0\Rightarrow$$

$${\lambda }^3+{\lambda }^2–\lambda –1=0.$$

Next

从而，我们就可以得出该三阶常系数线性齐次方程：

$${\lambda }^3+{\lambda }^2–\lambda –1=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^3+{\lambda }^2–{\lambda }^1–{\lambda }^0=0\Rightarrow$$

$$y^{(3)}+y^{(2)}–y^{(1)}–y^{(0)}=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }–y^{\prime }–y=0$$

注意：正确结果不是 $y^{\prime \prime \prime }$ $+$ $y^{\prime \prime }$ $-$ $y^{\prime }$ $-$ $1$ $=$ $0$.