用“十字相乘法”对二次函数进行分解降幂

一、前言

在本文中，荒原之梦网将通过若干例子，详细说明用于分解类似 $Ax^{2}$ $+$ $Bx$ $+$ $C$ $=$ $0$ 这样的二次函数式的“十字相乘法”。

二、正文

1. 十字相乘法的原理

首先，我们看下面这个式子：

$$
(ax + d) (bx + c) = 0 \Rightarrow
$$

$$
abx^{2} + ac x + bd x + cd = 0 \Rightarrow
$$

$$
abx^{2} + (ac + bd) x + cd = 0 \Rightarrow
$$

Next

如果令 $A$ $=$ $ab$, $ac$ $+$ $bd$ $=$ $B$, $cd$ $=$ $C$, 那么，我们就有：

$$
Ax^{2} + B x + C = 0.
$$

如果按照“十字相乘法”的格式来写的话，就可以将 $Ax^{2}$ $+$ $B x$ $+$ $C$ $=$ $0$ 写成下面这种形式：

$$
\begin{matrix}
ax & & c \\
& \nwarrow \nearrow & \\
& \swarrow \searrow & \\
bx & & d
\end{matrix}
$$

Next

之后，我们就可以得到：

$$
(\textcolor{skyblue}{a}x + \textcolor{red}{d})(\textcolor{skyblue}{b}x + \textcolor{red}{c}) = Ax^{2} + B x + C
$$

此时，$A = \textcolor{skyblue}{ab}$, $B = \textcolor{red}{ac} + \textcolor{red}{bd}$, $C = \textcolor{red}{cd}$

或者：

$$
(\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{c})(\textcolor{blue}{b}x + \textcolor{red}{d}) = Ax^{2} + B x + C
$$

此时，$A = \textcolor{skyblue}{ab}$, $B = \textcolor{red}{ad} + \textcolor{red}{bc}$, $C = \textcolor{red}{cd}$

因此，“十字相乘法”的核心就是对原式 $Ax^{2}$ $+$ $B x$ $+$ $C$ $=$ $0$ 中的常数 $A$, $B$, $C$ 进行合适的因式分解。

在做题的时候，常用的做法是将平方项的系数乘法分解之后，连同各自的 $x$ 写在“十”字的左侧，将常数项乘法分解之后，写在“十”字的右侧。

例如，对于 $2x^{2} – 3x – 2$, 首先，把 $2x^{2}$ 分解成 $x$ 和 $2x$, 再把 $-2$ 分解成 $1$ 和 $-2$, 写成如下形式：
$$
\begin{matrix}
x & & 1 \\
& \nwarrow \nearrow & \\
& \swarrow \searrow & \\
2x & & -2
\end{matrix}
$$

之后，根据不同的十字相乘的方式，可以得到如下两个式子，展开验证可知，只有第二个式子正确：

$$
\xcancel{
\textcolor{red}{
(x + 1)(2x – 2) = 2x^{2} – 2
}
} \tag{1}
$$
$$
(x-2)(2x+1) = 2x^{2} – 3x – 2 \quad \textcolor{green}{\checkmark} \tag{2}
$$

Next

同时，有些式子比较简单，例如当 $A$ $=$ $ab$ $=$ $1$ 时，即 $a$ $=$ $b$ $=$ $1$ 时，十字相乘法可以进一步简化为：

$$
x^{2} + B x + C = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{matrix}
x & & c\\
& \nwarrow \nearrow & \\
& \swarrow \searrow & \\
x & & d
\end{matrix}
$$

其中：

$$
\begin{cases}
C = cd \\
B = c + d
\end{cases}
$$

Next

2. 例题一

$$
6x^{2} + 19x + 15 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{matrix}
2x & & 3 \\
& \nwarrow \nearrow & \\
& \swarrow \searrow & \\
3x & & 5
\end{matrix}
\quad \Rightarrow
$$

$$
(2x + 3)(3x + 5) = 0.
$$

Next

3. 例题二

$$
x^{2} + 6x – 7 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{matrix}
x & & 7 \\
& \nwarrow \nearrow & \\
& \swarrow \searrow & \\
x & & -1
\end{matrix}
\quad \Rightarrow
$$

$$
(x + 7)(x – 1) =0.
$$

或者：

$$
(x – 1)(x + 7) =0.
$$

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