用“十字相乘法”对二次函数进行分解降幂

一、前言

在本文中，荒原之梦网将通过若干例子，详细说明用于分解类似 $A{x}^2$ $+$ $Bx$ $+$ $C$ $=$ $0$ 这样的二次函数式的“十字相乘法”。

二、正文

1. 十字相乘法的原理

首先，我们看下面这个式子：

$$(ax+d)(bx+c)=0\Rightarrow$$

$$ab{x}^2+acx+bdx+cd=0\Rightarrow$$

$$ab{x}^2+(ac+bd)x+cd=0\Rightarrow$$

Next

如果令 $A$ $=$ $ab$, $ac$ $+$ $bd$ $=$ $B$, $cd$ $=$ $C$, 那么，我们就有：

$$A{x}^2+Bx+C=0.$$

如果按照“十字相乘法”的格式来写的话，就可以将 $A{x}^2$ $+$ $Bx$ $+$ $C$ $=$ $0$ 写成下面这种形式：

$$\begin{array}{ccc}ax& & c\\ & \nwarrow \nearrow & \\ & \swarrow \searrow & \\ bx& & d\end{array}$$

Next

之后，我们就可以得到：

$$(ax+d)(bx+c)=A{x}^2+Bx+C$$

此时，$A=ab$, $B=ac+bd$, $C=cd$

或者：

$$(ax+c)(bx+d)=A{x}^2+Bx+C$$

此时，$A=ab$, $B=ad+bc$, $C=cd$

因此，“十字相乘法”的核心就是对原式 $A{x}^2$ $+$ $Bx$ $+$ $C$ $=$ $0$ 中的常数 $A$, $B$, $C$ 进行合适的因式分解。

在做题的时候，常用的做法是将平方项的系数乘法分解之后，连同各自的 $x$ 写在“十”字的左侧，将常数项乘法分解之后，写在“十”字的右侧。

例如，对于 $2x^2–3x–2$, 首先，把 $2x^2$ 分解成 $x$ 和 $2x$, 再把 $-2$ 分解成 $1$ 和 $-2$, 写成如下形式：
$$\begin{array}{ccc}x& & 1\\ & \nwarrow \nearrow & \\ & \swarrow \searrow & \\ 2x& & -2\end{array}$$

之后，根据不同的十字相乘的方式，可以得到如下两个式子，展开验证可知，只有第二个式子正确：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \xcancel{(x+1)(2x–2)=2x^2–2}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(2)}& (x-2)(2x+1)=2x^2–3x–2✓\end{array}$$

Next

同时，有些式子比较简单，例如当 $A$ $=$ $ab$ $=$ $1$ 时，即 $a$ $=$ $b$ $=$ $1$ 时，十字相乘法可以进一步简化为：

$$x^2+Bx+C=0\Rightarrow$$

$$\begin{array}{ccc}x& & c\\ & \nwarrow \nearrow & \\ & \swarrow \searrow & \\ x& & d\end{array}$$

其中：

$$\{\begin{array}{l}C=cd\\ B=c+d\end{array}$$

Next

2. 例题一

$$6x^2+19x+15=0\Rightarrow$$

$$\begin{array}{ccc}2x& & 3\\ & \nwarrow \nearrow & \\ & \swarrow \searrow & \\ 3x& & 5\end{array}\Rightarrow$$

$$(2x+3)(3x+5)=0.$$

Next

3. 例题二

$$x^2+6x–7=0\Rightarrow$$

$$\begin{array}{ccc}x& & 7\\ & \nwarrow \nearrow & \\ & \swarrow \searrow & \\ x& & -1\end{array}\Rightarrow$$

$$(x+7)(x–1)=0.$$

或者：

$$(x–1)(x+7)=0.$$

---