巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x = ？
$$

难度评级：

二、解析

根据《三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路》这篇文章提供的解题思路，由于：

$$
\int \frac{\cos^{2} (-x) \sin (-x)}{\sin^{2} (-x)} \mathrm{d} x = – \int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x
$$

因此，可以“凑” $\mathrm{d} (\cos x)$.

又：

$$
\mathrm{d} (\cos x) = – \sin x \mathrm{d} x
$$

Next

所以：

$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x =
$$

$$
– \int \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} (\cos x) =
$$

$$
– \int \frac{\cos^{2} x}{1 – \cos^{2} x} \mathrm{d} (\cos x) \Rightarrow
$$

Next

令 $\cos x$ $=$ $t$ $\Rightarrow$

$$
– \int \frac{t^{2}}{1 – t^{2}} \mathrm{d} t =
$$

$$
\int \frac{t^{2}}{t^{2} – 1} \mathrm{d} t =
$$

$$
\int \frac{t^{2} – 1 + 1}{t^{2} – 1} \mathrm{d} t =
$$

$$
\int \frac{t^{2} – 1}{t^{2} – 1} \mathrm{d} t + \int \frac{1}{t^{2} – 1} \mathrm{d} t =
$$

$$
\int 1 \mathrm{d} t + \int \frac{1}{t^{2} – 1} \mathrm{d} t =
$$

$$
t + \int \frac{1}{(t + 1)(t – 1)} \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

Next

$\frac{1}{t – 1}$ $-$ $\frac{1}{t + 1}$ $=$ $\frac{t+1 – t + 1}{(t+1)(t-1)}$ $=$ $\frac{2}{(t+1)(t-1)}$ $\Rightarrow$

1. 这里最好不要拆分成 $\frac{1}{t + 1}$ $-$ $\frac{1}{t – 1}$ 的形式，因为会出现符号，增加了计算出错的可能性；
2. 这里所使用的拆分思路在荒原之梦网的 这一道题 中也有应用。

$$
t + \frac{1}{2} \int \big(\frac{1}{t – 1} – \frac{1}{t + 1} \big) \mathrm{d} t =
$$

$$
t + \frac{1}{2} (\ln|t-1| – \ln |t+1|) + C =
$$

$$
t + \frac{1}{2} \ln|t-1| – \frac{1}{2} \ln |t+1| + C \Rightarrow
$$

Next

令 $t$ $=$ $\cos x$ $\Rightarrow$

$$
t + \frac{1}{2} \ln|t-1| – \frac{1}{2} \ln |t+1| + C =
$$

$$
\cos x + \frac{1}{2} \ln|\cos x – 1| – \frac{1}{2} \ln |\cos x + 1| + C
$$

其中，$C$ 为常数。

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