巧用三角函数凑微分,化不同为相同: cos2xsinxsin2x dx

一、题目题目 - 荒原之梦

cos2xsinxsin2xdx=

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

根据《三角函数 sincos 有理式积分的一般解题思路》这篇文章提供的解题思路,由于:

cos2(x)sin(x)sin2(x)dx=cos2xsinxsin2xdx

因此,可以“凑” d(cosx).

又:

d(cosx)=sinxdx

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所以:

cos2xsinxsin2xdx=

cos2xsin2xd(cosx)=

cos2x1cos2xd(cosx)

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cosx = t

t21t2dt=

t2t21dt=

t21+1t21dt=

t21t21dt+1t21dt=

1dt+1t21dt=

t+1(t+1)(t1)dt

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1t1 1t+1 = t+1t+1(t+1)(t1) = 2(t+1)(t1)

  1. 这里最好不要拆分成 1t+1 1t1 的形式,因为会出现符号,增加了计算出错的可能性;
  2. 这里所使用的拆分思路在荒原之梦网的 这一道题 中也有应用。

t+12(1t11t+1)dt=

t+12(ln|t1|ln|t+1|)+C=

t+12ln|t1|12ln|t+1|+C

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t = cosx

t+12ln|t1|12ln|t+1|+C=

cosx+12ln|cosx1|12ln|cosx+1|+C

其中,C 为常数。


荒原之梦考研数学思维导图
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