乘法变减法，轻松化“尴尬”：$\int$ $\frac{1}{x+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{1}{x + x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

对于某些有理式，我们可以通过将其拆分并转换减法运算的方式达到简化积分运算的目的。

$$
\int \frac{1}{x + x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+x} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

$\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{1 + x}$ $=$ $\frac{1+x-x}{x(1+x)}$ $\Rightarrow$

$$
\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \Big( \frac{1}{x} – \frac{1}{1+x} \Big) \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{x} \mathrm{d} x – \int \frac{1}{1+x} \mathrm{d} x = \ln |x| – \ln |1+x| + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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