乘法变减法，轻松化“尴尬”：$\int$ $\frac{1}{x+x^2}$ $\mathrm{d}x$

一、题目

$$\int \frac{1}{x+x^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

对于某些有理式，我们可以通过将其拆分并转换减法运算的方式达到简化积分运算的目的。

$$\int \frac{1}{x+x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

Next

$\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{1+x}$ $=$ $\frac{1+x-x}{x(1+x)}$ $\Rightarrow$

$$\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=$$

$$\int (\frac{1}{x}–\frac{1}{1+x})\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x–\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=\ln |x|–\ln |1+x|+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

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