关于非原点位置反对称的“奇函数”

一、前言

本文讨论了关于非原点位置对称的“奇函数”的性质和判断方法，可以增加我们解题时的灵活度。

二、正文

我们常说的奇函数都是关于直角坐标系坐标轴原点位置反对称的函数，这种真正意义上的函数具有以下性质：

$$
f(0) = 0;
$$

$$
f(-x) = -f(x).
$$

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但是，在解题时，我们还会遇到一些不关于坐标系原点位置对称的“近似奇函数”——这类“奇函数”一般是由某个奇函数通过在 $x$ 轴上左右平移产生的（一般情况下，不能在 $y$ 轴上平移），在一定范围内也具有一个“对称区间”，例如下面这个图象中的红色曲线就是一个此类“近似奇函数”（关于 $x$ $=$ $1$ 对称），此外，从下图中可以看出，红色曲线就是由蓝色曲线所对应的真正的奇函数沿 $x$ 轴向右平移 $1$ 个单位所生成的：

事实上，上图中蓝色曲线对应的函数是：

$$
y = x \sqrt{1-x^{2}}
$$

上图中红色曲线对应的函数是：

$$
y = (x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}
$$

Next

我们可以通过如下步骤，轻易的证明函数 $y$ $=$ $x \sqrt{1-x^{2}}$ 是一个奇函数：

$$
y(-x) = – y(x) \Rightarrow
$$

$$
(-x) \sqrt{1 – (-x)^{2}} = -x \sqrt{1 – x^{2}} \quad ①
$$

但我们继续思考可以发现，上面的步骤其实就是在证明函数 $y$ $=$ $x \sqrt{1-x^{2}}$ 在 $x$ $=$ $0$ 处左右两边的函数值是相反的，因此，我们可以将 $①$ 式写成如下形式：

$$
(\textcolor{red}{0}-x) \sqrt{1 – (\textcolor{red}{0} – x)^{2}} = -(x – \textcolor{red}{0}) \sqrt{1 – (x – \textcolor{red}{0})^{2}}
$$

上面的 $0 – x$ 和 $x – 0$ 这两个变量就是关于 $x = 0$ 对称的两个变量。

Next

进而，我们可以知道，如果函数 $y$ $=$ $(x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}$ 是一个关于 $x$ $=$ $1$ 对称的“近似奇函数”，那么我们就需要找到关于 $x$ $=$ $1$ 对称的两个“变量”，并把这两个变量代入到原函数中，如果结果的正负性刚好相反，那么，就证明了函数 $y$ $=$ $(x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}$ 是一个关于 $x$ $=$ $1$ 反对称的“近似奇函数”。

于是，我们在 $x$ $=$ $1$ 的左边随便取一个变量 $t$, 那么，这个变量 $t$ 关于 $t$ $=$ $1$ 对称位置的变量就是：

$$
t – 2(t – 1)
$$

接着，将 $t – 2(t – 1)$ 代入到函数 $y$ $=$ $(x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}$ 中，得：

$$
y(t – 2(t – 1)) =
$$

$$
[\textcolor{red}{t – 2(t – 1)} – 1] \sqrt{2[\textcolor{red}{t – 2(t – 1)}] – [\textcolor{red}{t – 2(t – 1)}]^{2}} =
$$

$$
(1-t) \sqrt{2t-4t+4 – (t^{2} – 4t + 4)} =
$$

$$
(1-t) \sqrt{2t – t^{2}} = – (t-1) \sqrt{2t – t^{2}}.
$$

注意：一般情况下，$x – 1$ 和 $1 – x$ 并不是关于 $x = 1$ 对称的两个变量。

从上面的计算可知，函数 $y$ $=$ $(x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}$ 是一个关于 $x$ $=$ $1$ 对称的“近似奇函数”。

Next

当然，我们也可以通过将函数 $y$ $=$ $(x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}$ “移动”到坐标原点的方式，利用一般奇函数的判断方法，快速判断出移动前的函数是否是一个“近似奇函数”。

例如，根据“左加右减”的规则，如果我们想往左移动函数 $y$ $=$ $(x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}$, 就需要为其变量 $x$ 加 $1$, 即：

$$
[(x + 1) – 1] \sqrt{2(x+1) – (x + 1)^{2}} =
$$

$$
x \sqrt{2x + 2 – (x^{2} + 1 + 2x)} =
$$

$$
x \sqrt{1 – x^{2}}.
$$

之后，我们可以很容易的判断出 $y$ $=$ $x \sqrt{1 – x^{2}}$ 是一个关于 $x = 0$ 对称的奇函数，因此，移动前的函数 $y$ $=$ $(x – 1) \sqrt{2x – x^{2}}$ 就是一个关于 $x = 1$ 对称的“近似奇函数”。

一旦确定了一个函数是上文中所阐述的“近似奇函数”，那么，关于奇函数的一些性质，也就可以套用在“近似奇函数”身上了。

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