证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

一、题目

证明：

$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

难度评级：

二、解析

证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 需要用到隐函数求导法。

由题知，$(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$, 即：

$$
y^{\prime} = (\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
$$

Next

于是，令：

$$
y = \arcsin x
$$

则：

$$
\sin y = \sin (\arcsin x) \Rightarrow
$$

$$
\sin y = x \quad ①
$$

Next

在 $①$ 式两边同时对 $x$ 求导，得：

$$
(\cos y) \cdot y^{\prime} = 1 \Rightarrow
$$

在求导时一定要注意求导的变量是谁，而且同时在等式两边进行求导时，求导的变量必须是同一个，由于是对 $x$ 求导，因此，上面的式子不是 $\cos y$ $=$ $1$.

$$
y^{\prime} = \frac{1}{\cos y} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – \sin^{2} y}}
$$

Next

由 $①$ 知，$x$ $=$ $\sin y$, 于是：

$$
y^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}
$$

即：

$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
$$

综上可知，题目得证。

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