计算极限 limx 2nn!

一、题目题目 - 荒原之梦

limx2nn!=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法一

首先:

2nn!>0.

又:

2nn!=

2×2×2××2×21×2×3××(n1)×n=

21×2×2××22×3××(n1)×2n

2×2××22×3××(n1)<1

21×2×2××22×3××(n1)×2n<4n.

又:

limx4n=0.

因此:

0<limx2nn!<0

综上,由夹逼准则可知:

limx2nn!=0.

方法二

除了可以使用方法一所示的夹逼准则求解本题,还可以将 2nn! 视作一个数列进行求解。

xn = 2nn!, 则:

xn+1=2n+1(n+1)!

xn+1=22n(n+1)n!

xn+1=xn2n+1.

于是:

xn+1xn=2n+1<1.

因此可知,数列 {xn} 单调递减。

又由于:

xn=2nn!>0.

因此,数列 {xn} 有下界,进而由单调有界准则可知,数列 {xn} 收敛,即数列 {xn} 有极限:

limx xn = a, 则:

limxxn=limxxn+1=a

xn+1=xn2n+1

a=a2n+1

a=a0

a=0.

综上可知:

limxxn=0

limx2nn!=0.


荒原之梦考研数学思维导图
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